与えられた式 $6x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12$ を因数分解する。

代数学因数分解二次式
2025/4/3

1. 問題の内容

与えられた式 6x27ax+2a26x+5a126x^2 - 7ax + 2a^2 - 6x + 5a - 12 を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、xx に関して整理します。
6x2(7a+6)x+(2a2+5a12)6x^2 - (7a + 6)x + (2a^2 + 5a - 12)
次に、2a2+5a122a^2 + 5a - 12 を因数分解します。
2a2+5a12=(2a3)(a+4)2a^2 + 5a - 12 = (2a - 3)(a + 4)
したがって、式は次のようになります。
6x2(7a+6)x+(2a3)(a+4)6x^2 - (7a + 6)x + (2a - 3)(a + 4)
ここで、因数分解の形を (Ax+B)(Cx+D)(Ax + B)(Cx + D) と仮定します。
すると、AC=6AC = 6AD+BC=(7a+6)AD + BC = -(7a + 6)BD=(2a3)(a+4)BD = (2a - 3)(a + 4) となります。
6x26x^2 の係数から、AACC の組み合わせとして (2x,3x)(2x, 3x) または (x,6x)(x, 6x) が考えられます。
BD=(2a3)(a+4)BD = (2a - 3)(a + 4) の形から、BBDD の組み合わせとして (2a3,a+4)(2a - 3, a + 4) または (a+4,2a3)(a + 4, 2a - 3) が考えられます。
試行錯誤の結果、A=2A = 2C=3C = 3B=(a+4)B = -(a+4)D=(2a3)D = -(2a-3) とすると、
(2x(a+4))(3x(2a3))=(2xa4)(3x2a+3)(2x - (a+4))(3x - (2a-3)) = (2x - a - 4)(3x - 2a + 3)
=6x24ax+6x3ax+2a23a12x+8a12= 6x^2 - 4ax + 6x - 3ax + 2a^2 - 3a - 12x + 8a - 12
=6x27ax6x+2a2+5a12= 6x^2 - 7ax - 6x + 2a^2 + 5a - 12
したがって、因数分解の結果は (2xa4)(3x2a+3)(2x - a - 4)(3x - 2a + 3) となります。

3. 最終的な答え

(2xa4)(3x2a+3)(2x - a - 4)(3x - 2a + 3)

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