与えられた2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、放物線の頂点の座標を求め、最大値または最小値を求める問題です。具体的には以下の4つの関数について行います。 (1) $y = x^2 - 4x + 5$ (2) $y = x^2 + 2x - 2$ (3) $y = 2x^2 - 8x + 6$ (4) $y = -x^2 + 4x + 2$

1. 問題の内容

与えられた2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形し、放物線の頂点の座標を求め、最大値または最小値を求める問題です。具体的には以下の4つの関数について行います。

(1) $y = x^2 - 4x + 5$

(2) $y = x^2 + 2x - 2$

(3) $y = 2x^2 - 8x + 6$

(4) $y = -x^2 + 4x + 2$

2. 解き方の手順

平方完成を用いて $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形します。このとき、頂点の座標は $(p, q)$ であり、$a > 0$ ならば最小値 $q$ を、$a < 0$ ならば最大値 $q$ をとります。

(1) $y = x^2 - 4x + 5$

$y = (x^2 - 4x) + 5$

$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 5$

$y = (x - 2)^2 + 1$

頂点の座標は $(2, 1)$。

したがって、この関数は $x = 2$ のとき、最小値 $1$ をとる。

最大値はない。

(2) $y = x^2 + 2x - 2$

$y = (x^2 + 2x) - 2$

$y = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 2$

$y = (x + 1)^2 - 3$

頂点の座標は $(-1, -3)$。

したがって、この関数は $x = -1$ のとき、最小値 $-3$ をとる。

最大値はない。

(3) $y = 2x^2 - 8x + 6$

$y = 2(x^2 - 4x) + 6$

$y = 2(x^2 - 4x + 4) - 2 \cdot 4 + 6$

$y = 2(x - 2)^2 - 8 + 6$

$y = 2(x - 2)^2 - 2$

頂点の座標は $(2, -2)$。

したがって、この関数は $x = 2$ のとき、最小値 $-2$ をとる。

最大値はない。

(4) $y = -x^2 + 4x + 2$

$y = -(x^2 - 4x) + 2$

$y = -(x^2 - 4x + 4) + 4 + 2$

$y = -(x - 2)^2 + 6$

頂点の座標は $(2, 6)$。

したがって、この関数は $x = 2$ のとき、最大値 $6$ をとる。

最小値はない。

3. 最終的な答え

(1) 頂点：$(2, 1)$。$x = 2$ のとき、最小値 $1$ をとる。

(2) 頂点：$(-1, -3)$。$x = -1$ のとき、最小値 $-3$ をとる。

(3) 頂点：$(2, -2)$。$x = 2$ のとき、最小値 $-2$ をとる。

(4) 頂点：$(2, 6)$。$x = 2$ のとき、最大値 $6$ をとる。