与えられた二次関数を標準形に変形する問題です。二次関数は以下の４つです。 (1) $y = (x-3)^2 + 4$ (2) $y = 2x^2 + 8x + 2$ (3) $y = \frac{1}{2}x^2 + x$ (4) $y = -(x+1)^2 - 2$

1. 問題の内容

与えられた二次関数を標準形に変形する問題です。二次関数は以下の４つです。

(1) $y = (x-3)^2 + 4$

(2) $y = 2x^2 + 8x + 2$

(3) $y = \frac{1}{2}x^2 + x$

(4) $y = -(x+1)^2 - 2$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x-3)^2 + 4$

すでに標準形なので、変形する必要はありません。

(2) $y = 2x^2 + 8x + 2$

まず、$x^2$ の係数 2 でくくります。

$y = 2(x^2 + 4x) + 2$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4$ となるので、

$y = 2((x+2)^2 - 4) + 2$

$y = 2(x+2)^2 - 8 + 2$

$y = 2(x+2)^2 - 6$

(3) $y = \frac{1}{2}x^2 + x$

まず、$x^2$ の係数 $\frac{1}{2}$ でくくります。

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2x)$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$ となるので、

$y = \frac{1}{2}((x+1)^2 - 1)$

$y = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2}$

(4) $y = -(x+1)^2 - 2$

すでに標準形なので、変形する必要はありません。

3. 最終的な答え

(1) $y = (x-3)^2 + 4$

(2) $y = 2(x+2)^2 - 6$

(3) $y = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2}$

(4) $y = -(x+1)^2 - 2$