関数 $y = 4^x + 4^{-x} - (2^{x+1} + 2^{-x+1}) + 4$ の最小値を求める問題です。$t = 2^x + 2^{-x}$ とおき、$y$ を $t$ で表し、$x$ が実数全体を動くときの $t$ の最小値を相加平均と相乗平均の関係を用いて求め、$y$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 4^x + 4^{-x} - (2^{x+1} + 2^{-x+1}) + 4$ の最小値を求める問題です。$t = 2^x + 2^{-x}$ とおき、$y$ を $t$ で表し、$x$ が実数全体を動くときの $t$ の最小値を相加平均と相乗平均の関係を用いて求め、$y$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $t$ で表します。

$4^x + 4^{-x} = (2^x)^2 + (2^{-x})^2 = (2^x + 2^{-x})^2 - 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} = t^2 - 2$

$2^{x+1} + 2^{-x+1} = 2 \cdot 2^x + 2 \cdot 2^{-x} = 2(2^x + 2^{-x}) = 2t$

したがって、

$y = t^2 - 2 - 2t + 4 = t^2 - 2t + 2$

次に、$t$ の最小値を求めます。

$t = 2^x + 2^{-x}$ について、相加平均と相乗平均の関係より、

$\frac{2^x + 2^{-x}}{2} \ge \sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = \sqrt{1} = 1$

$2^x + 2^{-x} \ge 2$

したがって、$t$ の最小値は 2 です。$t=2$となるのは、$2^x = 2^{-x}$ すなわち、$2^{2x} = 1$ となるときであり、$x=0$ のときです。

次に、$y$ の最小値を求めます。

$y = t^2 - 2t + 2 = (t-1)^2 + 1$

$y$ を最小にする $t$ の値は、$t=1$ です。しかし、$t$ の最小値は 2 なので、$t=2$のときに$y$は最小値をとります。

$y = (2-1)^2+1 = 2$

したがって、$y$ の最小値は 2 です。

最後に、$y$ が最小になるときの $x$ の値を求めます。

$y$が最小になるのは、$t=2$ のときなので、$2^x + 2^{-x} = 2$

このとき、$2^x = 2^{-x}$ なので、$2^{2x} = 1$ より、$x=0$

3. 最終的な答え

サ: 2

シ: 2

ス: 2

セ: 2

ソ: 0