$x$ に関する不等式 $(\log_{\frac{1}{2}} 2x)^3 - 12\log_{\frac{1}{4}} x > (\log_2 4x)^2 - 11$ を解く問題です。$t = \log_{\frac{1}{4}} x$ とおいて、$t$ に関する不等式を導き、$x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$x$ に関する不等式 $(\log_{\frac{1}{2}} 2x)^3 - 12\log_{\frac{1}{4}} x > (\log_2 4x)^2 - 11$ を解く問題です。$t = \log_{\frac{1}{4}} x$ とおいて、$t$ に関する不等式を導き、$x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\log_{\frac{1}{2}} 2x$ を $t$ で表す。

$\log_{\frac{1}{2}} 2x = \log_{\frac{1}{2}} 2 + \log_{\frac{1}{2}} x = -1 + \log_{\frac{1}{2}} x$

$t = \log_{\frac{1}{4}} x = \log_{(\frac{1}{2})^2} x = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} x$ なので、$\log_{\frac{1}{2}} x = 2t$

$\log_{\frac{1}{2}} 2x = -1 + 2t = 2t - 1$

(2) $\log_{\frac{1}{4}} x$ を $t$ で表す。

$\log_{\frac{1}{4}} x = t$

(3) $\log_2 4x$ を $t$ で表す。

$\log_2 4x = \log_2 4 + \log_2 x = 2 + \log_2 x$

$t = \log_{\frac{1}{4}} x$ より、$x = (\frac{1}{4})^t = (2^{-2})^t = 2^{-2t}$

$\log_2 x = \log_2 2^{-2t} = -2t$

$\log_2 4x = 2 - 2t = -2t + 2$

(4) 不等式に代入して整理する。

$(2t-1)^3 - 12t > (-2t+2)^2 - 11$

$8t^3 - 12t^2 + 6t - 1 - 12t > 4t^2 - 8t + 4 - 11$

$8t^3 - 12t^2 + 6t - 1 - 12t - 4t^2 + 8t - 4 + 11 > 0$

$8t^3 - 16t^2 + 2t + 6 > 0$

$4t^3 - 8t^2 + t + 3 > 0$

$(t-1)(4t^2 - 4t - 3) > 0$

$(t-1)(2t-3)(2t+1) > 0$

$(t-1)(t-\frac{3}{2})(t+\frac{1}{2}) > 0$

(5) $t$ に関する不等式を解く。

$t < -\frac{1}{2}$, $1 < t < \frac{3}{2}$

(6) $x$ に関する不等式を解く。

$t = \log_{\frac{1}{4}} x$

$t < -\frac{1}{2}$ より $\log_{\frac{1}{4}} x < -\frac{1}{2}$

$x > (\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = (4)^{\frac{1}{2}} = 2$

$1 < t < \frac{3}{2}$ より $1 < \log_{\frac{1}{4}} x < \frac{3}{2}$

$(\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}} < x < \frac{1}{4}$

$(\frac{1}{2^2})^{\frac{3}{2}} < x < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{2^3} < x < \frac{1}{4}$

$\frac{1}{8} < x < \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

タ: 1

チ: マイナス

ツ: 2

テ: マイナス

ト: 2

ナ: 16

ニ: 6

ヌ: マイナス

ネ: 2分の1

ノ: 1

ハ: 2分の3

ヒ: 2

フ: 8分の1

ヘ: 4分の1

ホ: 無し

フ: 8分の1

ヘ: 4分の1