与えられた数式を計算して、空欄を埋める問題です。具体的には、 (1) $(0.25)^{0.5}$ (2) $(\sqrt[3]{a})^4 \times \sqrt[6]{a^5} \div a\sqrt{a} = a^{\frac{ウ}{エ}}$ (3) $(\sqrt{5} + \sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} - \sqrt{5} + 2) = オ\sqrt{カ} - キ$ (4) $\{\log_4 9 + (\log_5 3)(\log_2 25)\} \log_3 2 = ク$ (5) $(49^{\log_2 3})^{\log_{\sqrt{7}} 2} = ケコ$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数式を計算して、空欄を埋める問題です。具体的には、

(1) $(0.25)^{0.5}$

(2) $(\sqrt[3]{a})^4 \times \sqrt[6]{a^5} \div a\sqrt{a} = a^{\frac{ウ}{エ}}$

(3) $(\sqrt{5} + \sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} - \sqrt{5} + 2) = オ\sqrt{カ} - キ$

(4) $\{\log_4 9 + (\log_5 3)(\log_2 25)\} \log_3 2 = ク$

(5) $(49^{\log_2 3})^{\log_{\sqrt{7}} 2} = ケコ$

を計算します。

2. 解き方の手順

(1)

$0.25 = \frac{1}{4}$ より、$(0.25)^{0.5} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$。

(2)

$(\sqrt[3]{a})^4 = a^{\frac{4}{3}}$

$\sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}}$

$a\sqrt{a} = a \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2}}$

よって、$(\sqrt[3]{a})^4 \times \sqrt[6]{a^5} \div a\sqrt{a} = a^{\frac{4}{3}} \times a^{\frac{5}{6}} \div a^{\frac{3}{2}} = a^{\frac{4}{3} + \frac{5}{6} - \frac{3}{2}} = a^{\frac{8+5-9}{6}} = a^{\frac{4}{6}} = a^{\frac{2}{3}}$

(3)

$(\sqrt{5} + \sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} - \sqrt{5} + 2) = (2\sqrt{5}-2)(-\sqrt{5}+2) = -2(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-2) = -2(5 -2\sqrt{5}-\sqrt{5}+2) = -2(7 -3\sqrt{5}) = -14+6\sqrt{5}$.

したがって$6\sqrt{5}-14$.

(4)

$\log_4 9 = \log_4 3^2 = 2\log_4 3 = 2\frac{\log_2 3}{\log_2 4} = 2\frac{\log_2 3}{2} = \log_2 3$

$\log_2 25 = \log_2 5^2 = 2\log_2 5$

$\{\log_4 9 + (\log_5 3)(\log_2 25)\} \log_3 2 = \{\log_2 3 + (\log_5 3)(2\log_2 5)\} \log_3 2 = \{\log_2 3 + 2\frac{\log_2 3}{\log_2 5} \log_2 5\} \log_3 2 = \{\log_2 3 + 2\log_2 3\} \log_3 2 = 3\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 3 \frac{\log_3 3}{\log_3 2} \cdot \log_3 2 = 3 \cdot \frac{1}{\log_3 2} \cdot \log_3 2 = 3$.

(5)

$(49^{\log_2 3})^{\log_{\sqrt{7}} 2} = (7^{2\log_2 3})^{\log_{7^{\frac{1}{2}}} 2} = (7^{\log_2 3^2})^{\log_{7^{\frac{1}{2}}} 2} = (7^{\log_2 9})^{2\log_7 2} = (7^{2\log_7 2})^{\log_2 9} = (7^{\log_7 2^2})^{\log_2 9} = 4^{\log_2 9} = (2^2)^{\log_2 9} = 2^{2\log_2 9} = 2^{\log_2 9^2} = 2^{\log_2 81} = 81$.

3. 最終的な答え

(1) ア: 1, イ: 2

(2) ウ: 2, エ: 3

(3) オ: 6, カ: 5, キ: 14

(4) ク: 3

(5) ケコ: 81