関数 $y = \frac{1}{x^3 + 2x + 1}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{x^3 + 2x + 1}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、合成関数の微分法（連鎖律）または商の微分法を用いることができます。ここでは、合成関数の微分法を用いることにします。まず、$u = x^3 + 2x + 1$ と置くと、$y = \frac{1}{u} = u^{-1}$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^{-1}) = -1 \cdot u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x + 1) = 3x^2 + 2$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot (3x^2 + 2) = -\frac{3x^2 + 2}{(x^3 + 2x + 1)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 2}{(x^3 + 2x + 1)^2}$