自然数 $n$ に対して、関数 $y = \cos x$ の第 $2n$ 次導関数を求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、関数 $y = \cos x$ の第 $2n$ 次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y=\cos x$ の導関数をいくつか計算し、規則性を見つける。

$y' = -\sin x$

$y'' = -\cos x$

$y''' = \sin x$

$y'''' = \cos x$

4階微分すると元の関数に戻ることがわかる。したがって、4階ごとに同じ関数が繰り返される。

$y^{(4n)} = \cos x$

$y^{(4n+1)} = -\sin x$

$y^{(4n+2)} = -\cos x$

$y^{(4n+3)} = \sin x$

今回求めるのは第$2n$次導関数なので、

$2n$ が 4 の倍数の時、$2n = 4k$ つまり、$n=2k$ (kは自然数) のとき、 $y^{(2n)} = \cos x$

$2n$ が $4k+1$ の形の時、$2n = 4k+1$ となる自然数 $k$ は存在しない。

$2n$ が $4k+2$ の形の時、$2n = 4k+2$ つまり、$n=2k+1$ (kは0以上の整数) のとき、$y^{(2n)} = -\cos x$

$2n$ が $4k+3$ の形の時、$2n = 4k+3$ となる自然数 $k$ は存在しない。

まとめると、$n$が偶数の時 ($n=2k$の時)、$y^{(2n)} = \cos x$

$n$が奇数の時 ($n=2k+1$の時)、$y^{(2n)} = -\cos x$

したがって、$y^{(2n)} = (-1)^n \cos x$ と表現できる。

3. 最終的な答え

$(-1)^n \cos x$