与えられた式を整理、あるいは微分することを意図していると思われる問題です。 与えられた式は、 $\frac{1}{2} (x \sqrt{x^2+1} + \log(x+\sqrt{x^2+1}))$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を整理、あるいは微分することを意図していると思われる問題です。

与えられた式は、

$\frac{1}{2} (x \sqrt{x^2+1} + \log(x+\sqrt{x^2+1}))$

です。

2. 解き方の手順

この問題は、微分することを目的としている可能性が高いです。なぜなら、この形は$\sqrt{x^2+1}$の積分に似ているからです。

そこで、与えられた式を$f(x)$とおき、微分してみます。

$f(x) = \frac{1}{2} (x \sqrt{x^2+1} + \log(x+\sqrt{x^2+1}))$

微分を計算します。

$f'(x) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{x^2+1} + x \cdot \frac{1}{2} (x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x + \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot (1 + \frac{1}{2} (x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x) \right)$

$f'(x) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{x^2+1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}) \right)$

$f'(x) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{x^2+1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot (\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}) \right)$

$f'(x) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{x^2+1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right)$

$f'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right)$

$f'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{2x^2+2}{\sqrt{x^2+1}} \right)$

$f'(x) = \frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}$

$f'(x) = \sqrt{x^2+1}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{x^2+1}$