関数 $y = (2x+1)^3$ の導関数を求めます。

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

**問題 2.3.1 (1)**

1. 問題の内容

関数 $y = (2x+1)^3$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用います。

$y = u^3$、 $u = 2x+1$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = 2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot 2 = 6u^2 = 6(2x+1)^2$

3. 最終的な答え

$6(2x+1)^2$

**問題 2.3.1 (2)**

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{(2-3x)^4}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

$y = (2-3x)^{-4}$と変形し、合成関数の微分法を用います。

$y = u^{-4}$、 $u = 2-3x$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -4u^{-5}$

$\frac{du}{dx} = -3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -4u^{-5} \cdot (-3) = 12u^{-5} = \frac{12}{(2-3x)^5}$

3. 最終的な答え

$\frac{12}{(2-3x)^5}$

**問題 2.3.1 (3)**

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

$y = x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}$と変形し、微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}$

**問題 2.3.1 (4)**

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{4-x^2}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用います。

$y = \sqrt{u}$、 $u = 4-x^2$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = -2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$

3. 最終的な答え

$-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$

**問題 2.3.1 (5)**

1. 問題の内容

関数 $y = e^{1-3x}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用います。

$y = e^{u}$、 $u = 1-3x$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^{u}$

$\frac{du}{dx} = -3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^{u} \cdot (-3) = -3e^{1-3x}$

3. 最終的な答え

$-3e^{1-3x}$

**問題 2.3.1 (6)**

1. 問題の内容

関数 $y = \sin(\frac{\pi}{4} - 2x)$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を用います。

$y = \sin u$、$u = \frac{\pi}{4} - 2x$とおくと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \cos u$

$\frac{du}{dx} = -2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot (-2) = -2\cos(\frac{\pi}{4} - 2x)$

3. 最終的な答え

$-2\cos(\frac{\pi}{4} - 2x)$

**問題 2.3.1 (7)**

1. 問題の内容

関数 $y = x\log x - x$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

積の微分法と対数関数の微分法を用います。

$\frac{d}{dx}(x \log x) = \frac{d}{dx}(x) \log x + x \frac{d}{dx}(\log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

$\frac{d}{dx}(-x) = -1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \log x + 1 - 1 = \log x$

3. 最終的な答え

$\log x$

**問題 2.3.1 (8)**

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\log x}{x}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

商の微分法を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{x\frac{d}{dx}(\log x) - \log x \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1 - \log x}{x^2}$

**問題 2.3.2 (1)**

1. 問題の内容

関数 $y = \arcsin x + \arccos x$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

$\frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$

3. 最終的な答え

$0$

**問題 2.3.2 (2)**

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}$ ($a \neq 0$) の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

$\arctan x$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ であることを利用します。

$u = \frac{x}{a}$とおくと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{a}$

$y = \frac{1}{a} \arctan u$ より

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{a^2}} = \frac{1}{a^2+x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{a^2+x^2}$

**問題 2.3.2 (3)**

1. 問題の内容

関数 $y = \arcsin \frac{x}{a}$ ($a > 0$) の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

$\arcsin x$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ であることを利用します。

$u = \frac{x}{a}$とおくと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{a}$

$y = \arcsin u$ より

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$

**問題 2.3.2 (4)**

1. 問題の内容

関数 $y = \arctan x + \arctan \frac{1}{x}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

$\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$

$u = \frac{1}{x} = x^{-1}$ とおくと、 $\frac{du}{dx} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

$\frac{d}{dx} \arctan \frac{1}{x} = \frac{1}{1+(\frac{1}{x})^2} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{\frac{x^2+1}{x^2}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{x^2}{x^2+1} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{x^2+1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 0$

3. 最終的な答え

$0$

**問題 2.3.2 (5)**

1. 問題の内容

関数 $y = 2\arcsin\sqrt{x}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

$\arcsin x$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ であることを利用します。

$u = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ とおくと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$y = 2\arcsin u$ より

$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$

**問題 2.3.2 (6)**

1. 問題の内容

関数 $y = \arctan \frac{1+x}{1-x}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

$\arctan x$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ であることを利用します。

$u = \frac{1+x}{1-x}$ とおくと、

$\frac{du}{dx} = \frac{(1-x)(1) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x+1+x}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2}$

$y = \arctan u$ より

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+(\frac{1+x}{1-x})^2} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{1+\frac{(1+x)^2}{(1-x)^2}} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{\frac{(1-x)^2+(1+x)^2}{(1-x)^2}} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{(1-x)^2}{(1-x)^2+(1+x)^2} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-2x+x^2)+(1+2x+x^2)} = \frac{2}{2+2x^2} = \frac{1}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1+x^2}$

**問題 2.3.3 (1)**

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2+1)^3(3x+2)$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

積の微分法を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}((x^2+1)^3) \cdot (3x+2) + (x^2+1)^3 \cdot \frac{d}{dx}(3x+2)$

$\frac{d}{dx}((x^2+1)^3) = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2$

$\frac{d}{dx}(3x+2) = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 6x(x^2+1)^2(3x+2) + (x^2+1)^3 \cdot 3 = 3(x^2+1)^2[2x(3x+2) + (x^2+1)] = 3(x^2+1)^2[6x^2+4x+x^2+1] = 3(x^2+1)^2(7x^2+4x+1)$

3. 最終的な答え

$3(x^2+1)^2(7x^2+4x+1)$

**問題 2.3.3 (2)**

1. 問題の内容

関数 $y = ((x^5+1)^4+2)^3$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を繰り返し用います。

$y = u^3$、$u = v^4+2$、$v = x^5+1$ とおくと

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3((x^5+1)^4+2)^2$

$\frac{du}{dv} = 4v^3 = 4(x^5+1)^3$

$\frac{dv}{dx} = 5x^4$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3((x^5+1)^4+2)^2 \cdot 4(x^5+1)^3 \cdot 5x^4 = 60x^4 (x^5+1)^3 ((x^5+1)^4+2)^2$

3. 最終的な答え

$60x^4(x^5+1)^3((x^5+1)^4+2)^2$

**問題 2.3.3 (3)**

1. 問題の内容

関数 $y = -\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

商の微分法を用います。

$y = - \frac{u}{v}$、$u = \sqrt{x^2+1}$、$v = x$ とおくと

$\frac{dy}{dx} = - \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{dv}{dx} = 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} - \sqrt{x^2+1} \cdot 1}{x^2} = -\frac{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} - \sqrt{x^2+1}}{x^2} = -\frac{\frac{x^2 - (x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2} = -\frac{\frac{-1}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2} = \frac{1}{x^2\sqrt{x^2+1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+1}}$

**問題 2.3.3 (4)**

1. 問題の内容

関数 $y = e^{\sin(2x+1)}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

合成関数の微分法を繰り返し用います。

$y = e^u$、$u = \sin v$、$v = 2x+1$ とおくと

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u = e^{\sin(2x+1)}$

$\frac{du}{dv} = \cos v = \cos(2x+1)$

$\frac{dv}{dx} = 2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = e^{\sin(2x+1)} \cdot \cos(2x+1) \cdot 2 = 2e^{\sin(2x+1)}\cos(2x+1)$

3. 最終的な答え

$2e^{\sin(2x+1)}\cos(2x+1)$