与えられた関数を積分する問題です。具体的には、以下の12個の関数に対する不定積分を求める必要があります。 (1) $x^2 e^x$ (2) $(x-2) \cos 3x$ (3) $e^x \cos x$ (4) $\frac{\log x}{x^2}$ (5) $\log(x^2+1)$ (6) $(\log x)^2$ (7) $x \tan^{-1} x$ (8) $\sin^{-1} x$ (9) $\tan^{-1} x$ (10) $\sqrt{x^2 + 2x + 2}$ (11) $\sqrt{1 - 4x - x^2}$ (12) $\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 2}}$

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

与えられた関数を積分する問題です。具体的には、以下の12個の関数に対する不定積分を求める必要があります。

(1) $x^2 e^x$

(2) $(x-2) \cos 3x$

(3) $e^x \cos x$

(4) $\frac{\log x}{x^2}$

(5) $\log(x^2+1)$

(6) $(\log x)^2$

(7) $x \tan^{-1} x$

(8) $\sin^{-1} x$

(9) $\tan^{-1} x$

(10) $\sqrt{x^2 + 2x + 2}$

(11) $\sqrt{1 - 4x - x^2}$

(12) $\frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 2}}$

2. 解き方の手順

各問題について、適切な積分手法を用いて解きます。主に部分積分、置換積分、三角関数の積分などを利用します。

**(1) $\int x^2 e^x dx$**

部分積分を2回繰り返します。

$u = x^2$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = e^x$。

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x dx$

次に、$\int x e^x dx$ を部分積分で計算します。

$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$。

$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C_1$

したがって、

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2 (x e^x - e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$

**(2) $\int (x-2) \cos 3x dx$**

部分積分を利用します。

$u = x-2$, $dv = \cos 3x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{3} \sin 3x$。

$\int (x-2) \cos 3x dx = \frac{1}{3}(x-2) \sin 3x - \int \frac{1}{3} \sin 3x dx = \frac{1}{3}(x-2) \sin 3x + \frac{1}{9} \cos 3x + C$

**(3) $\int e^x \cos x dx$**

部分積分を2回繰り返します。

$I = \int e^x \cos x dx$ とおきます。

$u = \cos x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = -\sin x dx$, $v = e^x$。

$I = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$

次に、$\int e^x \sin x dx$ を部分積分で計算します。

$u = \sin x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = \cos x dx$, $v = e^x$。

$\int e^x \sin x dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx = e^x \sin x - I$

したがって、

$I = e^x \cos x + e^x \sin x - I$

$2I = e^x (\cos x + \sin x)$

$I = \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C$

**(4) $\int \frac{\log x}{x^2} dx$**

部分積分を利用します。

$u = \log x$, $dv = \frac{1}{x^2} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = -\frac{1}{x}$。

$\int \frac{\log x}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \int -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\log x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + C$

**(5) $\int \log(x^2+1) dx$**

部分積分を利用します。$u = \log(x^2+1)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{2x}{x^2+1} dx$, $v = x$。

$\int \log(x^2+1) dx = x\log(x^2+1) - \int x \cdot \frac{2x}{x^2+1} dx = x\log(x^2+1) - \int \frac{2x^2}{x^2+1} dx$

ここで、$\int \frac{2x^2}{x^2+1} dx = \int \frac{2(x^2+1) - 2}{x^2+1} dx = \int (2 - \frac{2}{x^2+1}) dx = 2x - 2 \arctan(x) + C_1$

したがって、

$\int \log(x^2+1) dx = x\log(x^2+1) - 2x + 2 \arctan(x) + C$

**(6) $\int (\log x)^2 dx$**

部分積分を利用します。

$u = (\log x)^2$, $dv = dx$ とすると、$du = 2 \log x \cdot \frac{1}{x} dx$, $v = x$。

$\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - \int x \cdot 2 \log x \cdot \frac{1}{x} dx = x(\log x)^2 - 2 \int \log x dx$

次に、$\int \log x dx$ を部分積分で計算します。

$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$。

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - x + C_1$

したがって、

$\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - 2(x \log x - x) + C = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$

**(7) $\int x \tan^{-1} x dx$**

部分積分を利用します。

$u = \tan^{-1} x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = \frac{1}{2}x^2$。

$\int x \tan^{-1} x dx = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1} x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} dx$

ここで、$\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \int \frac{(x^2+1) - 1}{1+x^2} dx = \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx = x - \arctan x + C_1$

したがって、

$\int x \tan^{-1} x dx = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1} x - \frac{1}{2}(x - \arctan x) + C = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1} x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \arctan x + C = \frac{1}{2}(x^2+1) \tan^{-1} x - \frac{1}{2}x + C$

**(8) $\int \sin^{-1} x dx$**

部分積分を利用します。

$u = \sin^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$, $v = x$。

$\int \sin^{-1} x dx = x \sin^{-1} x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ について、 $t = 1 - x^2$ とすると、$dt = -2x dx$, $x dx = -\frac{1}{2} dt$。

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{t} + C_1 = -\sqrt{1-x^2} + C_1$

したがって、

$\int \sin^{-1} x dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$

**(9) $\int \tan^{-1} x dx$**

部分積分を利用します。

$u = \tan^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = x$。

$\int \tan^{-1} x dx = x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^2} dx$

ここで、$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ について、$t = 1+x^2$ とすると、$dt = 2x dx$, $x dx = \frac{1}{2} dt$。

$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \log |t| + C_1 = \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C_1$

したがって、

$\int \tan^{-1} x dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$

**(10) $\int \sqrt{x^2 + 2x + 2} dx$**

平方完成します。

$\int \sqrt{x^2 + 2x + 2} dx = \int \sqrt{(x+1)^2 + 1} dx$

$x+1 = \sinh u$ と置換すると、$dx = \cosh u du$。

$\int \sqrt{\sinh^2 u + 1} \cosh u du = \int \cosh^2 u du = \int \frac{1 + \cosh 2u}{2} du = \frac{1}{2} u + \frac{1}{4} \sinh 2u + C = \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} \sinh u \cosh u + C$

$\sinh u = x+1$, $u = \sinh^{-1}(x+1)$

$\cosh u = \sqrt{\sinh^2 u + 1} = \sqrt{(x+1)^2 + 1} = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$

$\int \sqrt{x^2 + 2x + 2} dx = \frac{1}{2} \sinh^{-1}(x+1) + \frac{1}{2} (x+1) \sqrt{x^2+2x+2} + C = \frac{1}{2} \log(x+1+\sqrt{x^2+2x+2}) + \frac{1}{2} (x+1) \sqrt{x^2+2x+2} + C$

**(11) $\int \sqrt{1 - 4x - x^2} dx$**

平方完成します。

$1 - 4x - x^2 = 1 - (x^2 + 4x) = 1 - ((x+2)^2 - 4) = 5 - (x+2)^2$

$\int \sqrt{1 - 4x - x^2} dx = \int \sqrt{5 - (x+2)^2} dx$

$x+2 = \sqrt{5} \sin u$ と置換すると、$dx = \sqrt{5} \cos u du$。

$\int \sqrt{5 - 5\sin^2 u} \sqrt{5} \cos u du = \int 5 \cos^2 u du = 5 \int \frac{1 + \cos 2u}{2} du = \frac{5}{2}u + \frac{5}{4} \sin 2u + C = \frac{5}{2}u + \frac{5}{2} \sin u \cos u + C$

$\sin u = \frac{x+2}{\sqrt{5}}$, $u = \sin^{-1} \frac{x+2}{\sqrt{5}}$, $\cos u = \sqrt{1 - \sin^2 u} = \sqrt{1 - \frac{(x+2)^2}{5}} = \frac{\sqrt{5-(x+2)^2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{1-4x-x^2}}{\sqrt{5}}$

$\int \sqrt{1 - 4x - x^2} dx = \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{x+2}{\sqrt{5}} + \frac{5}{2} \frac{x+2}{\sqrt{5}} \frac{\sqrt{1-4x-x^2}}{\sqrt{5}} + C = \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{x+2}{\sqrt{5}} + \frac{x+2}{2} \sqrt{1-4x-x^2} + C$

**(12) $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 2}} dx$**

$x = \sqrt{2} \sinh u$ と置換すると、$dx = \sqrt{2} \cosh u du$。

$\int \frac{2\sinh^2 u}{\sqrt{2\sinh^2 u + 2}} \sqrt{2} \cosh u du = \int \frac{2\sinh^2 u}{\sqrt{2} \cosh u} \sqrt{2} \cosh u du = 2 \int \sinh^2 u du = 2 \int \frac{\cosh 2u - 1}{2} du = \int (\cosh 2u - 1) du = \frac{1}{2} \sinh 2u - u + C = \sinh u \cosh u - u + C$

$\sinh u = \frac{x}{\sqrt{2}}$, $u = \sinh^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}}$, $\cosh u = \sqrt{\sinh^2 u + 1} = \sqrt{\frac{x^2}{2} + 1} = \frac{\sqrt{x^2+2}}{\sqrt{2}}$

$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 2}} dx = \frac{x}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{x^2+2}}{\sqrt{2}} - \sinh^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}} + C = \frac{x\sqrt{x^2+2}}{2} - \log(\frac{x}{\sqrt{2}} + \sqrt{\frac{x^2}{2} + 1}) + C = \frac{x\sqrt{x^2+2}}{2} - \log(x + \sqrt{x^2+2}) + C'$

3. 最終的な答え

以下に各問題の不定積分の結果を示します。ただし、$C$ は積分定数です。

(1) $\int x^2 e^x dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$

(2) $\int (x-2) \cos 3x dx = \frac{1}{3}(x-2) \sin 3x + \frac{1}{9} \cos 3x + C$

(3) $\int e^x \cos x dx = \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C$

(4) $\int \frac{\log x}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + C$

(5) $\int \log(x^2+1) dx = x\log(x^2+1) - 2x + 2 \arctan(x) + C$

(6) $\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$

(7) $\int x \tan^{-1} x dx = \frac{1}{2}(x^2+1) \tan^{-1} x - \frac{1}{2}x + C$

(8) $\int \sin^{-1} x dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$

(9) $\int \tan^{-1} x dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log (1+x^2) + C$

(10) $\int \sqrt{x^2 + 2x + 2} dx = \frac{1}{2} \log(x+1+\sqrt{x^2+2x+2}) + \frac{1}{2} (x+1) \sqrt{x^2+2x+2} + C$

(11) $\int \sqrt{1 - 4x - x^2} dx = \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{x+2}{\sqrt{5}} + \frac{x+2}{2} \sqrt{1-4x-x^2} + C$

(12) $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + 2}} dx = \frac{x\sqrt{x^2+2}}{2} - \log(x + \sqrt{x^2+2}) + C$