与えられた6つの関数に対して、それぞれの第$n$次導関数を求める。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数に対して、それぞれの第$n$次導関数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^x$

$f'(x) = e^x$, $f''(x) = e^x$, ... より、$f^{(n)}(x) = e^x$

(2) $f(x) = \cos x$

$f'(x) = -\sin x = \cos(x + \frac{\pi}{2})$

$f''(x) = -\cos x = \cos(x + 2\frac{\pi}{2})$

$f'''(x) = \sin x = \cos(x + 3\frac{\pi}{2})$

$f^{(4)}(x) = \cos x = \cos(x + 4\frac{\pi}{2})$

したがって、$f^{(n)}(x) = \cos(x + n\frac{\pi}{2})$

(3) $f(x) = x^n$

$f'(x) = nx^{n-1}$

$f''(x) = n(n-1)x^{n-2}$

$f'''(x) = n(n-1)(n-2)x^{n-3}$

...

$f^{(n)}(x) = n(n-1)(n-2)...(1) = n!$

$f^{(n+1)}(x) = 0$

したがって、$n$次導関数は$n!$

(4) $f(x) = \log(1+x)$

$f'(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

$f''(x) = -1(1+x)^{-2}$

$f'''(x) = (-1)(-2)(1+x)^{-3} = 2(1+x)^{-3}$

$f^{(4)}(x) = 2(-3)(1+x)^{-4} = -6(1+x)^{-4}$

一般化すると、$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$

(5) $f(x) = x^\alpha$

$f'(x) = \alpha x^{\alpha - 1}$

$f''(x) = \alpha(\alpha - 1) x^{\alpha - 2}$

$f'''(x) = \alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2) x^{\alpha - 3}$

一般化すると、$f^{(n)}(x) = \alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)...(\alpha - n + 1) x^{\alpha - n}$

(6) $f(x) = e^{ax+b}$

$f'(x) = ae^{ax+b}$

$f''(x) = a^2e^{ax+b}$

$f'''(x) = a^3e^{ax+b}$

したがって、$f^{(n)}(x) = a^n e^{ax+b}$

3. 最終的な答え

(1) $e^x$

(2) $\cos(x + n\frac{\pi}{2})$

(3) $n!$

(4) $\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$

(5) $\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)...(\alpha - n + 1) x^{\alpha - n}$

(6) $a^n e^{ax+b}$