与えられた2階線形微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 3x + 1$ の一般解が $y = C_1e^{-3x} + C_2e^{-x} + x - 1$ で与えられている。選択肢の中から、この微分方程式の特殊解となるものをすべて選ぶ。

1. 問題の内容

与えられた2階線形微分方程式

$\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 3x + 1$

の一般解が

$y = C_1e^{-3x} + C_2e^{-x} + x - 1$

で与えられている。選択肢の中から、この微分方程式の特殊解となるものをすべて選ぶ。

2. 解き方の手順

一般解に含まれる項$C_1e^{-3x}$, $C_2e^{-x}$はそれぞれ同次方程式$\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 0$の解である。与えられた一般解から、$C_1, C_2$に適当な値を代入することで得られる関数が与えられた微分方程式の特殊解となる。

* $y = 1$: 一般解に含まれる項$x-1$を打ち消すことはできないので、特殊解となりえない。

* $y = x$: 一般解に含まれる項$-1$を打ち消すことはできないので、特殊解となりえない。

* $y = x - 1$: $C_1 = 0, C_2 = 0$ とすれば $y = x - 1$ となり、特殊解である。

* $y = e^{-x} - 1$: $C_1 = 0, C_2 = 1$ とすれば $y = e^{-x} + x - 1$ となる。しかし、一般解から$x$を取り除くことはできないので、$y = e^{-x} - 1$ は特殊解となりえない。

* $y = e^{-x} + x - 1$: $C_1 = 0, C_2 = 1$ とすれば $y = e^{-x} + x - 1$ となり、特殊解である。

* $y = e^{-3x} + x$: 一般解に含まれる項$-1$を打ち消すことはできないので、特殊解となりえない。

* $y = e^{-3x} + x - 1$: $C_1 = 1, C_2 = 0$ とすれば $y = e^{-3x} + x - 1$ となり、特殊解である。

3. 最終的な答え

* y = x - 1

* y = e^{-x} + x - 1

* y = e^{-3x} + x - 1