定積分 $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{5}{4}} \sqrt{18x-8} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{5}{4}} \sqrt{18x-8} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \sqrt{18x-8} \, dx$ を計算します。

$u = 18x - 8$ と置換すると、$du = 18 \, dx$ となり、$dx = \frac{1}{18} du$ となります。したがって、

$$\int \sqrt{18x-8} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{18} \, du = \frac{1}{18} \int u^{\frac{1}{2}} \, du$$

$$\frac{1}{18} \int u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{18} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{18} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{27} u^{\frac{3}{2}} + C$$

ここで、$u = 18x - 8$ を代入すると、

$$\int \sqrt{18x-8} \, dx = \frac{1}{27} (18x-8)^{\frac{3}{2}} + C$$

次に、定積分を計算します。

$$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{5}{4}} \sqrt{18x-8} \, dx = \left[ \frac{1}{27} (18x-8)^{\frac{3}{2}} \right]_{\frac{1}{2}}^{\frac{5}{4}}$$

$$= \frac{1}{27} \left[ (18 \cdot \frac{5}{4} - 8)^{\frac{3}{2}} - (18 \cdot \frac{1}{2} - 8)^{\frac{3}{2}} \right]$$

$$= \frac{1}{27} \left[ (\frac{90}{4} - \frac{32}{4})^{\frac{3}{2}} - (9 - 8)^{\frac{3}{2}} \right]$$

$$= \frac{1}{27} \left[ (\frac{58}{4})^{\frac{3}{2}} - (1)^{\frac{3}{2}} \right] = \frac{1}{27} \left[ (\frac{29}{2})^{\frac{3}{2}} - 1 \right]$$

$$= \frac{1}{27} \left[ \frac{29 \sqrt{29}}{2\sqrt{2}} - 1 \right] = \frac{1}{27} \left[ \frac{29 \sqrt{58}}{4} - 1 \right]$$

$$= \frac{29 \sqrt{58}}{108} - \frac{1}{27} = \frac{29 \sqrt{58} - 4}{108}$$

3. 最終的な答え

$\frac{29\sqrt{58}-4}{108}$