与えられた関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であることを示す問題です。 関数は次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であることを示す問題です。

関数は次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の条件が成り立つ必要があります。

$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

まず、$f(0)$ の値を求めます。

$f(0) = 0$

次に、$\lim_{x \to 0} f(x)$ を求めます。

$\lim_{x \to 0} x^2 \sin(\frac{1}{x})$

ここで、$-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1$ であることを利用します。

したがって、$-x^2 \leq x^2 \sin(\frac{1}{x}) \leq x^2$ となります。

$\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ であるため、挟みうちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x^2 \sin(\frac{1}{x}) = 0$

したがって、$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$ となり、$f(x)$ は $x=0$ で連続であることが示されました。

画像にある解答の途中の式は、

$\lim_{x \to 0} x \cdot \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

と書かれていますが、これは正しくありません。$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$　の極限は存在しないため、このように変形することはできません。

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ は $x=0$ で連続である。