与えられた2つの積分を計算します。 (1) $\int \sin 2x \cos 3x \, dx$ (2) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \, dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの積分を計算します。

(1) $\int \sin 2x \cos 3x \, dx$

(2) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \sin 2x \cos 3x \, dx$

三角関数の積和の公式を使います。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin (A+B) + \sin (A-B))$

したがって、

$\sin 2x \cos 3x = \frac{1}{2} (\sin (2x + 3x) + \sin (2x - 3x)) = \frac{1}{2} (\sin 5x + \sin (-x)) = \frac{1}{2} (\sin 5x - \sin x)$

よって、積分は以下のようになります。

$\int \sin 2x \cos 3x \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin 5x - \sin x) \, dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{5} \cos 5x + \cos x \right) + C$

$\int \sin 2x \cos 3x \, dx = -\frac{1}{10} \cos 5x + \frac{1}{2} \cos x + C$

(2) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \, dx$

置換積分を利用します。

$u = e^x + e^{-x}$ と置くと、$du = (e^x - e^{-x}) \, dx$ となります。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C$

元の変数に戻すと、

$\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \, dx = \ln |e^x + e^{-x}| + C$

$e^x + e^{-x}$ は常に正なので、絶対値を外すことができます。

$\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \, dx = \ln (e^x + e^{-x}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \sin 2x \cos 3x \, dx = -\frac{1}{10} \cos 5x + \frac{1}{2} \cos x + C$

(2) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \, dx = \ln (e^x + e^{-x}) + C$