関数 $f(x,y)$ が与えられています。$xy \ne 0$ のとき $f(x,y) = \frac{\sin xy}{xy}$ であり、$xy = 0$ のとき $f(x,y) = 1$ です。この関数 $f(x,y)$ の連続性を調べる問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x,y)$ が与えられています。$xy \ne 0$ のとき $f(x,y) = \frac{\sin xy}{xy}$ であり、$xy = 0$ のとき $f(x,y) = 1$ です。この関数 $f(x,y)$ の連続性を調べる問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x,y)$ の連続性を調べるには、以下の手順を踏みます。

* $xy \ne 0$ の領域では、$\sin xy$ と $xy$ は連続関数であり、$xy$ がゼロにならないので、$\frac{\sin xy}{xy}$ は連続です。したがって、$f(x,y)$ は $xy \ne 0$ で連続です。

* $xy = 0$ となる点、つまり $x=0$ または $y=0$ となる点で連続かどうかを調べます。$f(x,y)$ が $(0,0)$ で連続であるためには、極限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ が存在し、かつ $f(0,0) = 1$ に一致する必要があります。同様に、$x=0$ または $y=0$ 上の他の点でも調べる必要があります。

$xy = u$ とおくと、$(x,y) \to (0,0)$ のとき $u \to 0$ です。このとき、

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin xy}{xy} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$$

となります。また、$xy=0$ のとき $f(x,y) = 1$ であるので、$(0,0)$ で連続です。

次に、$x=0$ で $y \ne 0$ の場合を考えます。つまり、$(0,y_0)$ (ただし $y_0 \ne 0$) という点を考えます。このとき、$xy = 0$ なので、$f(0, y_0) = 1$ です。また、

$$\lim_{(x,y) \to (0, y_0)} \frac{\sin xy}{xy} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin (xy_0)}{xy_0} = 1$$

なので、この点でも連続です。同様に、$y=0$ で $x \ne 0$ の場合、つまり $(x_0, 0)$ (ただし $x_0 \ne 0$) という点でも、$f(x_0, 0) = 1$ であり、

$$\lim_{(x,y) \to (x_0, 0)} \frac{\sin xy}{xy} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin (x_0 y)}{x_0 y} = 1$$

なので、この点でも連続です。

3. 最終的な答え

関数 $f(x,y)$ はすべての点で連続である。