この問題は、関数 $f(x) = 2x^2$ について、平均変化率、微分係数、接線の方程式、面積などを求める問題です。具体的には、以下の内容が含まれています。 (1) $x$ が $a$ から $a+h$ まで変化するときの $f(x)$ の平均変化率と、$x=a$ における微分係数を求める。 (2) 放物線 $y=f(x)$ 上の点 $P(a, 2a^2)$ における接線の方程式、接線と $y$ 軸との交点 $Q$ の座標、点 $Q$ を通り接線に垂直な直線の方程式を求める。 (3) 三角形 $APQ$ の面積 $S$ を求める。 (4) 定積分 $T = \int_0^a (2x^2 - \text{ア}x + \text{オ}^2) dx$ が表すものを選択する。 (5) $a>0$ の範囲における $S-T$ の値を調べる。

1. 問題の内容

この問題は、関数 $f(x) = 2x^2$ について、平均変化率、微分係数、接線の方程式、面積などを求める問題です。具体的には、以下の内容が含まれています。

(1) $x$ が $a$ から $a+h$ まで変化するときの $f(x)$ の平均変化率と、$x=a$ における微分係数を求める。

(2) 放物線 $y=f(x)$ 上の点 $P(a, 2a^2)$ における接線の方程式、接線と $y$ 軸との交点 $Q$ の座標、点 $Q$ を通り接線に垂直な直線の方程式を求める。

(3) 三角形 $APQ$ の面積 $S$ を求める。

(4) 定積分 $T = \int_0^a (2x^2 - \text{ア}x + \text{オ}^2) dx$ が表すものを選択する。

(5) $a>0$ の範囲における $S-T$ の値を調べる。

2. 解き方の手順

(1) 平均変化率と微分係数

$f(a+h) = 2(a+h)^2 = 2(a^2 + 2ah + h^2) = 2a^2 + 4ah + 2h^2$

平均変化率は $\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{2a^2 + 4ah + 2h^2 - 2a^2}{h} = \frac{4ah + 2h^2}{h} = 4a + 2h$

したがって、アは $4a+2h$。

微分係数は $\lim_{h \to 0} (4a+2h) = 4a$。

したがって、イは $4a$。

(2) 接線の方程式など

$y = 2x^2$ より $y' = 4x$。点 $P(a, 2a^2)$ における接線の傾きは $4a$。

接線の方程式は $y - 2a^2 = 4a(x - a)$、つまり $y = 4ax - 4a^2 + 2a^2 = 4ax - 2a^2$。

したがって、ウは $4a$、エは $-2a^2$。

点 $Q$ は接線と $y$ 軸との交点なので、座標は $(0, -2a^2)$。

したがって、オは $-2a^2$。

点 $Q$ を通り接線に垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{4a}$。

したがって、直線の方程式は $y - (-2a^2) = -\frac{1}{4a}(x - 0)$、つまり $y = -\frac{1}{4a}x - 2a^2$。

したがって、カは $-\frac{1}{4a}$。

(3) 三角形 $APQ$ の面積

点 $A$ は直線 $y = -\frac{1}{4a}x - 2a^2$ と $x$ 軸との交点なので、$0 = -\frac{1}{4a}x - 2a^2$ より $x = -8a^3$。

したがって、$A$ の座標は $(-8a^3, 0)$。

$AP = |-8a^3 - a| = 8a^3 + a$。点 $Q$ から直線 $AP$ までの距離は、$AP$ の $y$ 座標の絶対値なので、 $|-2a^2 - 0| = 2a^2$。

三角形 $APQ$ の面積は $S = \frac{1}{2} |a - (-8a^3)| \times |2a^2| = \frac{1}{2} (8a^3 + a) (2a^2) = (8a^3+a)(a^2) = 8a^5 + a^3$

したがって、キは $8$、クは $a^5$、ケは $+$、コは $a^3$。

(4) 定積分

$T = \int_0^a (2x^2 - 4ax - 2a^2) dx$

この式は、放物線 $y = 2x^2$ と直線 $y = 4ax-2a^2$で囲まれた図形の面積を表します。

したがって、ソは ①

(5) $S-T$ の値

$S-T = 8a^5+a^3 - \int_0^a [2x^2-(4ax-2a^2)] dx = 8a^5 + a^3 - [ \frac{2}{3}x^3 -2ax^2+2a^2x ]^a_0 = 8a^5 + a^3 - (\frac{2}{3}a^3 - 2a^3 + 2a^3) = 8a^5 + a^3 - \frac{2}{3}a^3 = 8a^5 + \frac{1}{3}a^3 = a^3(8a^2 + \frac{1}{3})$

$S-T = 8a^5+\frac{1}{3} a^3$ なので　チ　$\frac{1}{3} a^3$

ここで、$S-T > 0$　は常に成立する。

$\frac{dS}{da} - \frac{dT}{da} = 40a^4 + a^2 > 0$ より $a=0$ の時に最小となる。

$S'=40a^4 + a^2 = 0 => a=0$

$T' = 2/3 a^3 -2a^3+2a^3 = \frac{2}{3}a^3$

3. 最終的な答え

ア: $4a+2h$

イ: $4a$

ウ: $4a$

エ: $-2a^2$

オ: $-2a^2$

カ: $-\frac{1}{4a}$

キ: $8$

ク: $a^5$

ケ: $+$

コ: $a^3$

ソ: ①

チ: $\frac{1}{3}a^3$

テ: ⓪

ナ: 0

ヌネノ: 三