以下の極限を求めます。 $$ \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1-e^{2x-2}} $$

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

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\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1-e^{2x-2}}

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2. 解き方の手順

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を利用します。

まず、$f(x) = x-1$ および $g(x) = 1-e^{2x-2}$ とします。

$f'(x) = 1$ であり、$g'(x) = -2e^{2x-2}$ です。

したがって、

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\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{1-e^{2x-2}} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{-2e^{2x-2}}

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$x \to 1$ のとき、$2x-2 \to 0$ となるので、$e^{2x-2} \to e^0 = 1$ となります。

よって、

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\lim_{x \to 1} \frac{1}{-2e^{2x-2}} = \frac{1}{-2e^0} = \frac{1}{-2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}

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3. 最終的な答え

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-\frac{1}{2}

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