画像に書かれた式を整理し、おそらく微分を計算する問題です。画像には以下の式が与えられています。 $v_x = \dot{r} \cos \theta - r \dot{\theta} \sin \theta$ $v_y = \dot{r} \sin \theta + r \dot{\theta} \cos \theta$ そして、「微分」というメモが書かれています。おそらく、これらの式を時間について微分することを意味しています。

1. 問題の内容

画像に書かれた式を整理し、おそらく微分を計算する問題です。画像には以下の式が与えられています。

$v_x = \dot{r} \cos \theta - r \dot{\theta} \sin \theta$

$v_y = \dot{r} \sin \theta + r \dot{\theta} \cos \theta$

そして、「微分」というメモが書かれています。おそらく、これらの式を時間について微分することを意味しています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を時間 $t$ で微分します。

$v_x = \dot{r} \cos \theta - r \dot{\theta} \sin \theta$ を $t$ で微分すると、積の微分法を用いて

$\frac{d v_x}{dt} = \ddot{r} \cos \theta - \dot{r} \dot{\theta} \sin \theta - \dot{r} \dot{\theta} \sin \theta - r \ddot{\theta} \sin \theta - r \dot{\theta}^2 \cos \theta$

$\frac{d v_x}{dt} = \ddot{r} \cos \theta - 2 \dot{r} \dot{\theta} \sin \theta - r \ddot{\theta} \sin \theta - r \dot{\theta}^2 \cos \theta$

$v_y = \dot{r} \sin \theta + r \dot{\theta} \cos \theta$ を $t$ で微分すると、積の微分法を用いて

$\frac{d v_y}{dt} = \ddot{r} \sin \theta + \dot{r} \dot{\theta} \cos \theta + \dot{r} \dot{\theta} \cos \theta + r \ddot{\theta} \cos \theta - r \dot{\theta}^2 \sin \theta$

$\frac{d v_y}{dt} = \ddot{r} \sin \theta + 2 \dot{r} \dot{\theta} \cos \theta + r \ddot{\theta} \cos \theta - r \dot{\theta}^2 \sin \theta$

3. 最終的な答え

$\frac{d v_x}{dt} = \ddot{r} \cos \theta - 2 \dot{r} \dot{\theta} \sin \theta - r \ddot{\theta} \sin \theta - r \dot{\theta}^2 \cos \theta$

$\frac{d v_y}{dt} = \ddot{r} \sin \theta + 2 \dot{r} \dot{\theta} \cos \theta + r \ddot{\theta} \cos \theta - r \dot{\theta}^2 \sin \theta$