問題1は、二変数関数の極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ (2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^4}$

はい、承知いたしました。画像の数学の問題を解きます。ここでは、問題1の(1)と(2)を解きます。

1. 問題の内容

問題1は、二変数関数の極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$

(2) $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^4}$

2. 解き方の手順

(1)

極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、

$\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta}{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} = \frac{r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)}{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = \cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos(2\theta)$

ここで、$(x,y) \to (0,0)$ は $r \to 0$ に対応します。しかし、$\cos(2\theta)$ は $\theta$ に依存するため、極限は存在しません。（$\theta$によって値が変わるため）

例えば、$\theta = 0$ とすると、$\cos(0) = 1$ となり、$y=0$に沿って近づくと1に近づきます。一方、$\theta = \frac{\pi}{4}$ とすると、$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ となり、$y=x$に沿って近づくと0に近づきます。

よって、極限は存在しません。

(2)

まず、$y = kx$に沿って$(0,0)$に近づく場合を考えます。

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 (kx)^2}{x^2 + (kx)^4} = \lim_{x \to 0} \frac{k^2 x^4}{x^2 + k^4 x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{k^2 x^2}{1 + k^4 x^2} = \frac{0}{1} = 0$

次に、$x=y^2$に沿って$(0,0)$に近づく場合を考えます。

$\lim_{y \to 0} \frac{(y^2)^2 y^2}{(y^2)^2 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^6}{y^4 + y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^6}{2y^4} = \lim_{y \to 0} \frac{y^2}{2} = 0$

極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とおくと、

$\frac{x^2 y^2}{x^2 + y^4} = \frac{r^4 \cos^2\theta \sin^2\theta}{r^2 \cos^2\theta + r^4 \sin^4\theta} = \frac{r^2 \cos^2\theta \sin^2\theta}{\cos^2\theta + r^2 \sin^4\theta}$

$r \to 0$ のとき、

$\theta \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$ の場合($\cos^2\theta \neq 0$の場合): $\lim_{r\to0}\frac{r^2 \cos^2\theta \sin^2\theta}{\cos^2\theta + r^2 \sin^4\theta} = \frac{0}{\cos^2\theta} = 0$

$\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$ の場合($\cos\theta = 0$の場合): $\lim_{r\to0}\frac{r^2 \cos^2\theta \sin^2\theta}{\cos^2\theta + r^2 \sin^4\theta} = \frac{0}{0 + r^2 } = 0$

したがって、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^4} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 極限は存在しない。

(2) 0