与えられた10個の関数について、n次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた10個の関数について、n次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

各関数ごとにn次導関数を求めます。

1. $f(x) = (x+1)^m$ (mは正の整数) の場合:

1階微分: $f'(x) = m(x+1)^{m-1}$

2階微分: $f''(x) = m(m-1)(x+1)^{m-2}$

...

n階微分:

$f^{(n)}(x) = m(m-1)\cdots(m-n+1)(x+1)^{m-n} = \frac{m!}{(m-n)!}(x+1)^{m-n}$ (n <= mの場合)

n > m の場合、$f^{(n)}(x) = 0$

2. $f(x) = (2x+1)^m$ (mは正の整数) の場合:

1階微分: $f'(x) = 2m(2x+1)^{m-1}$

2階微分: $f''(x) = 2^2 m(m-1)(2x+1)^{m-2}$

...

n階微分:

$f^{(n)}(x) = 2^n m(m-1)\cdots(m-n+1)(2x+1)^{m-n} = 2^n \frac{m!}{(m-n)!}(2x+1)^{m-n}$ (n <= mの場合)

n > m の場合、$f^{(n)}(x) = 0$

3. $f(x) = \sin x$ の場合:

$f'(x) = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$

$f''(x) = -\sin x = \sin(x + 2\frac{\pi}{2})$

...

$f^{(n)}(x) = \sin(x + n\frac{\pi}{2})$

4. $f(x) = \sin 2x$ の場合:

$f'(x) = 2\cos 2x = 2\sin(2x + \frac{\pi}{2})$

$f''(x) = -2^2\sin 2x = 2^2\sin(2x + 2\frac{\pi}{2})$

...

$f^{(n)}(x) = 2^n\sin(2x + n\frac{\pi}{2})$

5. $f(x) = \cos x$ の場合:

$f'(x) = -\sin x = \cos(x + \frac{\pi}{2})$

$f''(x) = -\cos x = \cos(x + 2\frac{\pi}{2})$

...

$f^{(n)}(x) = \cos(x + n\frac{\pi}{2})$

6. $f(x) = \cos 2x$ の場合:

$f'(x) = -2\sin 2x = 2\cos(2x + \frac{\pi}{2})$

$f''(x) = -2^2\cos 2x = 2^2\cos(2x + 2\frac{\pi}{2})$

...

$f^{(n)}(x) = 2^n\cos(2x + n\frac{\pi}{2})$

7. $f(x) = \log(1+x)$ の場合:

$f'(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

$f''(x) = -(1+x)^{-2}$

$f'''(x) = 2(1+x)^{-3}$

...

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$ (n >= 1)

n = 0 のときは未定義

8. $f(x) = \log(1+2x)$ の場合:

$f'(x) = \frac{2}{1+2x} = 2(1+2x)^{-1}$

$f''(x) = -2^2(1+2x)^{-2}$

$f'''(x) = 2^3\cdot2(1+2x)^{-3}$

...

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1}2^n(n-1)!(1+2x)^{-n} = \frac{(-1)^{n-1}2^n(n-1)!}{(1+2x)^n}$ (n >= 1)

n=0のときは未定義

9. $f(x) = (1+x)^{\alpha}$ (αは0でない実数) の場合:

$f'(x) = \alpha(1+x)^{\alpha-1}$

$f''(x) = \alpha(\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2}$

...

$f^{(n)}(x) = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)(1+x)^{\alpha-n}$

1

0. $f(x) = (1+2x)^{\alpha}$ (αは0でない実数) の場合:

$f'(x) = 2\alpha(1+2x)^{\alpha-1}$

$f''(x) = 2^2\alpha(\alpha-1)(1+2x)^{\alpha-2}$

...

$f^{(n)}(x) = 2^n\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)(1+2x)^{\alpha-n}$

3. 最終的な答え

1. $f^{(n)}(x) = \frac{m!}{(m-n)!}(x+1)^{m-n}$ (n <= m), 0 (n > m)

2. $f^{(n)}(x) = 2^n \frac{m!}{(m-n)!}(2x+1)^{m-n}$ (n <= m), 0 (n > m)

3. $f^{(n)}(x) = \sin(x + n\frac{\pi}{2})$

4. $f^{(n)}(x) = 2^n\sin(2x + n\frac{\pi}{2})$

5. $f^{(n)}(x) = \cos(x + n\frac{\pi}{2})$

6. $f^{(n)}(x) = 2^n\cos(2x + n\frac{\pi}{2})$

7. $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$ (n >= 1), 未定義(n=0)

8. $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}2^n(n-1)!}{(1+2x)^n}$ (n >= 1), 未定義(n=0)

9. $f^{(n)}(x) = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)(1+x)^{\alpha-n}$

1

0. $f^{(n)}(x) = 2^n\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)(1+2x)^{\alpha-n}$