以下の問題が与えられています。 (4) $\lim_{x \to 0} \frac{1-e^x + x}{x^2}$ (5) $\lim_{x \to +\infty} x^n (\log x)^n$ (ただし $a > 0$, $n$は自然数) (6) $\lim_{x \to 0} \log_a x \cdot \log(1+x)$ 問4. 次の関数の$x=0$におけるテイラー展開を指定された次数まで求めよ。 (1) $\sqrt[3]{1+x}$ (3次まで) (2) $\log(1+\sin x)$ (3次まで) 問6. 不定積分を求めよ。 (1) $\int \sqrt{1-x^2} dx$ (2) $\int \frac{1}{x^4 - 1} dx$

はい、承知いたしました。画像に書かれている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の問題が与えられています。

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{1-e^x + x}{x^2}$

(5) $\lim_{x \to +\infty} x^n (\log x)^n$ (ただし $a > 0$, $n$は自然数)

(6) $\lim_{x \to 0} \log_a x \cdot \log(1+x)$

問

4. 次の関数の$x=0$におけるテイラー展開を指定された次数まで求めよ。

(1) $\sqrt[3]{1+x}$ (3次まで)

(2) $\log(1+\sin x)$ (3次まで)

問

6. 不定積分を求めよ。

(1) $\int \sqrt{1-x^2} dx$

(2) $\int \frac{1}{x^4 - 1} dx$

2. 解き方の手順

(4) ロピタルの定理を使う。

$\lim_{x \to 0} \frac{1-e^x + x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-e^x + 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-e^x}{2} = -\frac{1}{2}$

(5) $x = e^t$ と置換すると、$x \to +\infty$ のとき $t \to +\infty$ である。

$\lim_{x \to +\infty} x^n (\log_a x)^n = \lim_{t \to +\infty} e^{nt} (\frac{t}{\log a})^n = \frac{1}{(\log a)^n} \lim_{t \to +\infty} e^{nt} t^n$

指数関数の方が多項式より強いので、$\lim_{t \to +\infty} e^{nt} t^n = +\infty$。

したがって、$\lim_{x \to +\infty} x^n (\log_a x)^n = +\infty$

(6) $\lim_{x \to 0} \log_a x \cdot \log(1+x) = \lim_{x \to 0} \frac{\log x}{\log a} \log(1+x) = \frac{1}{\log a} \lim_{x \to 0} \log x \cdot \log(1+x)$

$\lim_{x \to 0} \log(1+x) = \log 1 = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} \log x = -\infty$ なので、不定形 $-\infty \times 0$ である。

$\lim_{x \to 0} \log x \cdot \log(1+x) = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{1/\log x}$ と変形して、ロピタルの定理を使う。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{1/\log x} = \lim_{x \to 0} \frac{1/(1+x)}{-1/(x (\log x)^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-x (\log x)^2}{1+x}$

$\lim_{x \to 0} x (\log x)^2 = 0$ なので、$\lim_{x \to 0} \frac{-x (\log x)^2}{1+x} = 0$

したがって、$\lim_{x \to 0} \log_a x \cdot \log(1+x) = \frac{1}{\log a} \cdot 0 = 0$

問

4. (1) $\sqrt[3]{1+x} = (1+x)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}x + \frac{(1/3)(-2/3)}{2!} x^2 + \frac{(1/3)(-2/3)(-5/3)}{3!} x^3 + \dots$

$= 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{5}{81}x^3 + \dots$

3次までなので、$\sqrt[3]{1+x} \approx 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{5}{81}x^3$

(2) $\log(1+\sin x)$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \dots = x - \frac{x^3}{6} + \dots$

$\log(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \dots$

$\log(1+\sin x) = (x - \frac{x^3}{6}) - \frac{1}{2}(x - \frac{x^3}{6})^2 + \frac{1}{3}(x - \frac{x^3}{6})^3 - \dots$

$= x - \frac{x^3}{6} - \frac{1}{2}(x^2 - \frac{x^4}{3} + \dots) + \frac{1}{3}(x^3 - \dots) - \dots$

$= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^3}{6} + \dots = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots$

3次までなので、$\log(1+\sin x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$

問

6. (1) $\int \sqrt{1-x^2} dx$

$x = \sin \theta$ と置換すると、$dx = \cos \theta d\theta$

$\int \sqrt{1-x^2} dx = \int \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cos \theta d\theta = \int \cos^2 \theta d\theta = \int \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta$

$= \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta + C = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta + C$

$\theta = \arcsin x$, $\sin \theta = x$, $\cos \theta = \sqrt{1-x^2}$

$\int \sqrt{1-x^2} dx = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C$

(2) $\int \frac{1}{x^4 - 1} dx = \int \frac{1}{(x^2-1)(x^2+1)} dx = \int \frac{1}{(x-1)(x+1)(x^2+1)} dx$

$\frac{1}{x^4-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{Cx+D}{x^2+1}$ と部分分数分解する。

$1 = A(x+1)(x^2+1) + B(x-1)(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)(x+1)$

$x=1$ のとき $1 = A(2)(2) = 4A \implies A = \frac{1}{4}$

$x=-1$ のとき $1 = B(-2)(2) = -4B \implies B = -\frac{1}{4}$

$1 = \frac{1}{4}(x+1)(x^2+1) - \frac{1}{4}(x-1)(x^2+1) + (Cx+D)(x^2-1)$

$1 = \frac{1}{4}(x^3+x^2+x+1) - \frac{1}{4}(x^3-x^2+x-1) + Cx^3-Cx+Dx^2-D$

$1 = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} + Cx^3-Cx+Dx^2-D$

$0 = C$

$\frac{1}{2}+Dx^2 = 0 \implies D=-\frac{1}{2} \times \frac{1}{x^2}$ (これは間違い)

正しくは、

$1 = (A+B+C)x^3+(A-B+D)x^2+(A+B-C)x+(A-B-D)$

$A+B+C = 0 \implies C = 0$

$A-B+D = 0 \implies \frac{1}{4} - (-\frac{1}{4}) + D = 0 \implies \frac{1}{2}+D=0 \implies D=-\frac{1}{2}$

$\int \frac{1}{x^4-1} dx = \int (\frac{1/4}{x-1} - \frac{1/4}{x+1} - \frac{1/2}{x^2+1}) dx$

$= \frac{1}{4} \log |x-1| - \frac{1}{4} \log |x+1| - \frac{1}{2} \arctan x + C$

$= \frac{1}{4} \log |\frac{x-1}{x+1}| - \frac{1}{2} \arctan x + C$

3. 最終的な答え

(4) $-\frac{1}{2}$

(5) $+\infty$

(6) $0$

問

4. (1) $\sqrt[3]{1+x} \approx 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{5}{81}x^3$

(2) $\log(1+\sin x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$

問

6. (1) $\int \sqrt{1-x^2} dx = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C$

(2) $\int \frac{1}{x^4 - 1} dx = \frac{1}{4} \log |\frac{x-1}{x+1}| - \frac{1}{2} \arctan x + C$