与えられた極限を計算します。 $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{1-e^x} + \frac{1}{x} \right)$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{1-e^x} + \frac{1}{x} \right)$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を通分します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{x + 1 - e^x}{x(1-e^x)}$$

$x \to 0$のとき、分子は$0+1-e^0 = 0$に近づき、分母も$0(1-e^0)=0$に近づくため、不定形$\frac{0}{0}$となります。

したがって、ロピタルの定理を適用することができます。

分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx} (x + 1 - e^x) = 1 - e^x$

分母の微分: $\frac{d}{dx} (x(1-e^x)) = (1-e^x) + x(-e^x) = 1 - e^x - xe^x$

再びロピタルの定理を適用すると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - e^x}{1 - e^x - xe^x}$$

$x \to 0$のとき、分子は$1 - e^0 = 0$に近づき、分母も$1 - e^0 - 0 \cdot e^0 = 0$に近づくため、再び不定形$\frac{0}{0}$となります。

もう一度ロピタルの定理を適用します。

分子の微分: $\frac{d}{dx} (1 - e^x) = -e^x$

分母の微分: $\frac{d}{dx} (1 - e^x - xe^x) = -e^x - (e^x + xe^x) = -2e^x - xe^x$

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{-e^x}{-2e^x - xe^x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2e^x + xe^x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2+x}$$

$x \to 0$を代入すると、

$$\frac{1}{2+0} = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{2}$$