与えられた極限の計算問題です。 (5) $\lim_{x\to +0} x^a (\log x)^n$, ただし $a>0, n$ は自然数 (6) $\lim_{x\to +0} \log x \cdot \log(1+x)$

1. 問題の内容

与えられた極限の計算問題です。

(5) $\lim_{x\to +0} x^a (\log x)^n$, ただし $a>0, n$ は自然数

(6) $\lim_{x\to +0} \log x \cdot \log(1+x)$

2. 解き方の手順

(5) の解き方：

$x^a (\log x)^n$ の極限を $x \to +0$ で求めます。

ここで、ロピタルの定理を利用するために $x = e^{-t}$ と変数変換します。

$x \to +0$ のとき、$t \to \infty$ となります。

すると、

$x^a (\log x)^n = (e^{-t})^a (\log e^{-t})^n = e^{-at} (-t)^n = (-1)^n \frac{t^n}{e^{at}}$

となります。

したがって、

$\lim_{x\to +0} x^a (\log x)^n = \lim_{t\to \infty} (-1)^n \frac{t^n}{e^{at}}$

となります。

ロピタルの定理を $n$ 回適用すると、分母は $a^n e^{at}$ となり、分子は $n!$ となります。

したがって、

$\lim_{t\to \infty} \frac{t^n}{e^{at}} = \lim_{t\to \infty} \frac{n!}{a^n e^{at}} = 0$

となります。

(6) の解き方：

$\lim_{x\to +0} \log x \cdot \log(1+x)$ を求めます。

$x \to +0$ のとき、$\log(1+x) \approx x$ と近似できます。

したがって、

$\lim_{x\to +0} \log x \cdot \log(1+x) = \lim_{x\to +0} \log x \cdot x = \lim_{x\to +0} \frac{\log x}{1/x}$

となります。

ここでロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x\to +0} \frac{\log x}{1/x} = \lim_{x\to +0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x\to +0} (-x) = 0$

となります。

3. 最終的な答え

(5) $\lim_{x\to +0} x^a (\log x)^n = 0$

(6) $\lim_{x\to +0} \log x \cdot \log(1+x) = 0$