与えられた関数をマクローリン展開し、3次までの項を求める問題です。具体的には、以下の3つの関数について計算します。 1. $sin(3x)$

1. 問題の内容

与えられた関数をマクローリン展開し、3次までの項を求める問題です。具体的には、以下の3つの関数について計算します。

1. $sin(3x)$

2. $x cos(x)$

3. $e^{-4x}$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。一般に、関数 $f(x)$ のマクローリン展開は次のようになります。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

3次までの項を求めるので、$x^3$ の項まで計算します。

1. $f(x) = sin(3x)$ の場合：

* $f(0) = sin(0) = 0$

* $f'(x) = 3cos(3x)$, $f'(0) = 3cos(0) = 3$

* $f''(x) = -9sin(3x)$, $f''(0) = -9sin(0) = 0$

* $f'''(x) = -27cos(3x)$, $f'''(0) = -27cos(0) = -27$

したがって、$sin(3x)$ のマクローリン展開の3次までの項は、

$sin(3x) = 0 + 3x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-27}{3!}x^3 = 3x - \frac{27}{6}x^3 = 3x - \frac{9}{2}x^3$

2. $f(x) = x cos(x)$ の場合：

* $f(0) = 0 * cos(0) = 0$

* $f'(x) = cos(x) - x sin(x)$, $f'(0) = cos(0) - 0 = 1$

* $f''(x) = -sin(x) - sin(x) - x cos(x) = -2sin(x) - x cos(x)$, $f''(0) = -2sin(0) - 0 = 0$

* $f'''(x) = -2cos(x) - cos(x) + x sin(x) = -3cos(x) + x sin(x)$, $f'''(0) = -3cos(0) + 0 = -3$

したがって、$x cos(x)$ のマクローリン展開の3次までの項は、

$x cos(x) = 0 + 1x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-3}{3!}x^3 = x - \frac{3}{6}x^3 = x - \frac{1}{2}x^3$

3. $f(x) = e^{-4x}$ の場合：

* $f(0) = e^0 = 1$

* $f'(x) = -4e^{-4x}$, $f'(0) = -4e^0 = -4$

* $f''(x) = 16e^{-4x}$, $f''(0) = 16e^0 = 16$

* $f'''(x) = -64e^{-4x}$, $f'''(0) = -64e^0 = -64$

したがって、$e^{-4x}$ のマクローリン展開の3次までの項は、

$e^{-4x} = 1 - 4x + \frac{16}{2!}x^2 + \frac{-64}{3!}x^3 = 1 - 4x + 8x^2 - \frac{32}{3}x^3$

3. 最終的な答え

1. $sin(3x) = 3x - \frac{9}{2}x^3$

2. $x cos(x) = x - \frac{1}{2}x^3$

3. $e^{-4x} = 1 - 4x + 8x^2 - \frac{32}{3}x^3$