## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、以下の5つのタイプに分かれています。

1. 不定積分の計算 (2問)

2. 定積分の計算 (3問)

3. 定積分で定義された関数の微分 (1問)

4. 曲線や直線で囲まれた図形の面積の計算 (3問)

5. 絶対値を含む関数の定積分の計算 (1問)

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2. 解き方の手順

以下に、各問題の解き方の手順を説明します。

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1. 不定積分の計算**

(1) $\int (x^2 - 3x + 2) dx$

* 各項を個別に積分します。

* $\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C$

* $\int -3x dx = -\frac{3}{2}x^2 + C$

* $\int 2 dx = 2x + C$

* これらの結果をまとめ、積分定数Cを加えます。

(2) $\int (2y + 1)(3y - 1) dy$

* まず、被積分関数を展開します。 $(2y+1)(3y-1) = 6y^2 + y - 1$

* 各項を個別に積分します。

* $\int 6y^2 dy = 2y^3 + C$

* $\int y dy = \frac{1}{2}y^2 + C$

* $\int -1 dy = -y + C$

* これらの結果をまとめ、積分定数Cを加えます。

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2. 定積分の計算**

(1) $\int_2^5 (x^2 - 3x - 2) dx$

* まず、不定積分を計算します。 $\int (x^2 - 3x - 2) dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 2x + C$

* 次に、積分範囲の端点（5と2）を代入して、差を計算します。

$F(5) - F(2)$

(2) $\int_{-2}^1 4(x^2 - x + 1) dx - \int_{-2}^1 (x-2)^2 dx$

* 積分範囲が同じなので、まとめて計算します。

* $\int_{-2}^1 [4(x^2 - x + 1) - (x-2)^2] dx = \int_{-2}^1 (4x^2 - 4x + 4 - (x^2 - 4x + 4)) dx = \int_{-2}^1 3x^2 dx$

* 不定積分を計算します。 $\int 3x^2 dx = x^3 + C$

* 積分範囲の端点（1と-2）を代入して、差を計算します。

$F(1) - F(-2)$

(3) $\int_{-1}^1 (2x+1)^2 dx - \int_{-1}^1 (2x-1)^2 dx$

* 積分範囲が同じなので、まとめて計算します。

* $\int_{-1}^1 [(2x+1)^2 - (2x-1)^2] dx = \int_{-1}^1 [(4x^2+4x+1) - (4x^2-4x+1)] dx = \int_{-1}^1 8x dx$

* 不定積分を計算します。 $\int 8x dx = 4x^2 + C$

* 積分範囲の端点（1と-1）を代入して、差を計算します。

$F(1) - F(-1)$

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3. 定積分で定義された関数の微分**

$\frac{d}{dx} \int_3^x (t^2 - 2t + 1) dt$

* 微積分学の基本定理より、$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$ が成り立ちます。

* したがって、この問題の答えは $x^2 - 2x + 1$ となります。

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4. 曲線や直線で囲まれた図形の面積の計算**

(1) $y = x^2 + 2x + 2$, $x = 0$, $x = 1$

* 積分範囲は $x=0$ から $x=1$ です。

* 面積は $\int_0^1 (x^2 + 2x + 2) dx$ で計算できます。

* 不定積分を計算します。

* 積分範囲の端点（1と0）を代入して、差を計算します。

(2) $y = 4 - x^2$, x軸

* まず、$4-x^2=0$となる$x$を求め、積分範囲を決定します。$x = \pm 2$

* 面積は $\int_{-2}^2 (4 - x^2) dx$ で計算できます。

* 不定積分を計算します。

* 積分範囲の端点（2と-2）を代入して、差を計算します。

(3) $y = x^2 - x - 4$, $y = x - 1$

* まず、2つの曲線の交点を求め、積分範囲を決定します。$x^2 - x - 4 = x - 1$ を解くと、$x^2 - 2x - 3 = 0$ となり、$(x-3)(x+1)=0$ なので、$x=3, -1$

* 面積は $\int_{-1}^3 [(x - 1) - (x^2 - x - 4)] dx = \int_{-1}^3 (-x^2 + 2x + 3) dx$ で計算できます。

* 不定積分を計算します。

* 積分範囲の端点（3と-1）を代入して、差を計算します。

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5. 絶対値を含む関数の定積分の計算**

$\int_1^3 |x^2 - 4| dx$

* $x^2 - 4 = 0$ となる $x$ を求めます。 $x = \pm 2$

* 積分範囲内で $x^2 - 4$ の符号が変わる点（この場合は $x=2$）で積分範囲を分割します。

* $\int_1^3 |x^2 - 4| dx = \int_1^2 (4 - x^2) dx + \int_2^3 (x^2 - 4) dx$

* それぞれの積分を計算します。

* 結果を足し合わせます。

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3. 最終的な答え

各問題の最終的な答えは、上記の手順に従って計算することで得られます。 具体的な数値は、上記の手順を実行することで求めることができます。