与えられた数学の問題を解きます。問題は、平均変化率、極限、微分、微分係数、接線の方程式、極値、最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解きます。問題は、平均変化率、極限、微分、微分係数、接線の方程式、極値、最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1: 関数 $y = 3x^2 - 2$ の、$x = a$ から $x = b$ までの平均変化率を求めます。

平均変化率は $\frac{y(b) - y(a)}{b - a}$ で計算されます。

$y(b) = 3b^2 - 2$, $y(a) = 3a^2 - 2$ なので、

平均変化率 = $\frac{(3b^2 - 2) - (3a^2 - 2)}{b - a} = \frac{3b^2 - 3a^2}{b - a} = \frac{3(b^2 - a^2)}{b - a} = \frac{3(b - a)(b + a)}{b - a} = 3(b + a)$.

問題2: 極限 $\lim_{h \to 0} \frac{2h^2 - 5h}{h}$ を求めます。

$\frac{2h^2 - 5h}{h} = \frac{h(2h - 5)}{h} = 2h - 5$.

したがって、$\lim_{h \to 0} (2h - 5) = 2(0) - 5 = -5$.

問題3: 次の関数を微分します。

(1) $y = 2x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 5$.

$y' = 6x^2 + 3x$.

(2) $y = x(x + 3)(x - 2) = x(x^2 + x - 6) = x^3 + x^2 - 6x$.

$y' = 3x^2 + 2x - 6$.

問題4: 関数 $y = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$ を、$t$ で微分します。

$\frac{dy}{dt} = v_0 - gt$.

問題5: 関数 $f(x) = x^3 + 4x - 3$ について、$x = -2$ における微分係数を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 4$.

$f'(-2) = 3(-2)^2 + 4 = 3(4) + 4 = 12 + 4 = 16$.

問題6: $f(1) = 2$, $f'(1) = 1$, $f'(0) = -5$ をすべて満たす2次関数 $f(x)$ を求めます。

$f(x) = ax^2 + bx + c$ とします。

$f'(x) = 2ax + b$.

$f(1) = a + b + c = 2$.

$f'(1) = 2a + b = 1$.

$f'(0) = b = -5$.

$2a - 5 = 1 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3$.

$3 - 5 + c = 2 \Rightarrow c = 4$.

したがって、$f(x) = 3x^2 - 5x + 4$.

問題7: 関数 $y = -x^2 + 4x$ のグラフ上の点 $(1, 3)$ における接線の方程式を求めます。

$y' = -2x + 4$.

$x = 1$ のとき、$y' = -2(1) + 4 = 2$.

接線の方程式は $y - 3 = 2(x - 1)$ より、

$y = 2x - 2 + 3 = 2x + 1$.

問題8: 関数 $y = 2x^3 - 6x - 4$ の極値を求めます。

$y' = 6x^2 - 6 = 6(x^2 - 1) = 6(x - 1)(x + 1)$.

$y' = 0$ のとき、$x = 1, -1$.

$x = 1$ のとき、$y = 2(1)^3 - 6(1) - 4 = 2 - 6 - 4 = -8$.

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1)^3 - 6(-1) - 4 = -2 + 6 - 4 = 0$.

$y'' = 12x$.

$x = 1$ のとき、$y'' = 12 > 0$ なので、極小値 $y = -8$ ($x = 1$).

$x = -1$ のとき、$y'' = -12 < 0$ なので、極大値 $y = 0$ ($x = -1$).

問題9: 関数 $y = x^3 - 6x^2 + 9x$ ($-1 \le x \le 2$) の最大値と最小値を求めます。

$y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)$.

$y' = 0$ のとき、$x = 1, 3$. しかし、$x = 3$ は範囲外。

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 - 6 - 9 = -16$.

$x = 1$ のとき、$y = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4$.

$x = 2$ のとき、$y = (2)^3 - 6(2)^2 + 9(2) = 8 - 24 + 18 = 2$.

最大値は $4$ ($x = 1$), 最小値は $-16$ ($x = -1$).

3. 最終的な答え

問題1: $3(a+b)$

問題2: $-5$

問題3: (1) $6x^2 + 3x$ (2) $3x^2 + 2x - 6$

問題4: $v_0 - gt$

問題5: $16$

問題6: $f(x) = 3x^2 - 5x + 4$

問題7: $y = 2x + 1$

問題8: 極大値 $0$ ($x = -1$), 極小値 $-8$ ($x = 1$)

問題9: 最大値 $4$, 最小値 $-16$