与えられた3つの関数について、増減と凹凸を調べ、凹凸付きの増減表を作成し、関数の概形を描く問題です。 * 関数1: $y = \sqrt{\frac{x-1}{x-2}}$ * 関数2: $y = \log\frac{1-2x}{1-x}$ * 関数3: $y = e^{-\frac{x^2}{2}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、増減と凹凸を調べ、凹凸付きの増減表を作成し、関数の概形を描く問題です。

* 関数1: $y = \sqrt{\frac{x-1}{x-2}}$

* 関数2: $y = \log\frac{1-2x}{1-x}$

* 関数3: $y = e^{-\frac{x^2}{2}}$

2. 解き方の手順

関数1: $y = \sqrt{\frac{x-1}{x-2}}$

* 定義域: $\frac{x-1}{x-2} \geq 0$ より、$x \leq 1$ または $x > 2$.

* 導関数:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}} \cdot \frac{(x-2)-(x-1)}{(x-2)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}} \cdot \frac{-1}{(x-2)^2} = \frac{-1}{2(x-2)^2\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}}$

$y' < 0$ より、定義域内で常に減少。

* 2階導関数: (計算が複雑になるため、凹凸の判定は省略)

* 漸近線:

$x = 2$ が垂直漸近線。

$x \to -\infty$ で $y \to 1$ となるため、水平漸近線は $y = 1$.

関数2: $y = \log\frac{1-2x}{1-x}$

* 定義域: $\frac{1-2x}{1-x} > 0$ かつ $x \neq 1$. よって、$x < \frac{1}{2}$ または $x > 1$.

* 導関数:

$y' = \frac{1}{\frac{1-2x}{1-x}} \cdot \frac{-2(1-x) - (1-2x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x}{1-2x} \cdot \frac{-2+2x+1-2x}{(1-x)^2} = \frac{1-x}{1-2x} \cdot \frac{-1}{(1-x)^2} = \frac{-1}{(1-2x)(1-x)}$

定義域内で $y' > 0$ であるため、常に増加。

* 2階導関数:

$y'' = \frac{-1}{(1-2x)(1-x)}' = \frac{-(2(1-x)+(1-2x))}{(1-2x)^2(1-x)^2} = \frac{3-4x}{(1-2x)^2(1-x)^2}$

$y'' = 0$ のとき $x=\frac{3}{4}$.

$x < \frac{3}{4}$の時 $y'' > 0$ (下に凸)。

$\frac{3}{4} < x < \frac{1}{2}$または$x > 1$ の時 $y'' < 0$ (上に凸)。

* 漸近線: $x = \frac{1}{2}$, $x = 1$ が垂直漸近線。

関数3: $y = e^{-\frac{x^2}{2}}$

* 定義域: 全実数。

* 導関数: $y' = e^{-\frac{x^2}{2}}(-x) = -xe^{-\frac{x^2}{2}}$

$x < 0$ で $y' > 0$ (増加)。

$x > 0$ で $y' < 0$ (減少)。

$x = 0$ で極大値 $y = 1$ をとる。

* 2階導関数: $y'' = -e^{-\frac{x^2}{2}} + x^2e^{-\frac{x^2}{2}} = (x^2-1)e^{-\frac{x^2}{2}}$

$x < -1$ または $x > 1$ で $y'' > 0$ (下に凸)。

$-1 < x < 1$ で $y'' < 0$ (上に凸)。

$x = \pm 1$ で変曲点を持つ ($y = e^{-\frac{1}{2}} \approx 0.606$)。

* 漸近線: $x \to \pm \infty$ で $y \to 0$ となるため、水平漸近線は $y = 0$.

増減表、凹凸表、および関数の概形は、上記の情報に基づいて作成してください。それぞれの関数に対して、定義域、増減、凹凸、極値、変曲点、漸近線を考慮してグラフを描画します。

3. 最終的な答え

ここでは、最終的な答えとして各関数の特徴をまとめるに留めます。

* 関数1: 定義域 $x \leq 1$ または $x > 2$. 常に減少。垂直漸近線 $x = 2$, 水平漸近線 $y = 1$.

* 関数2: 定義域 $x < \frac{1}{2}$ または $x > 1$. 常に増加。垂直漸近線 $x=\frac{1}{2}$と$x=1$. $x=\frac{3}{4}$で凹凸が変わる。

* 関数3: 定義域は全実数。$x = 0$ で極大値 $1$ をとる。$x = \pm 1$ で変曲点を持つ。水平漸近線 $y = 0$.