与えられた極限を計算します。$a > 0$, $n$は自然数であるという条件の下で、 $$\lim_{x \to +0} x^n (\log x)^n$$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。$a > 0$, $n$は自然数であるという条件の下で、

$$\lim_{x \to +0} x^n (\log x)^n$$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、変数を $t = -\log x$ と置きます。すると、$x = e^{-t}$ となり、$x \to +0$ のとき $t \to \infty$ となります。したがって、与えられた極限は

$$\lim_{t \to \infty} (e^{-t})^n (-t)^n = \lim_{t \to \infty} \frac{(-1)^n t^n}{e^{nt}}$$

となります。指数関数は多項式よりも速く増加するため、この極限は0になります。より厳密には、ロピタルの定理を $n$ 回適用することで、このことを示すことができます。

$\lim_{t \to \infty} \frac{t^n}{e^{nt}}$を考えます。

ロピタルの定理を適用すると、

$$\lim_{t \to \infty} \frac{nt^{n-1}}{ne^{nt}} = \lim_{t \to \infty} \frac{t^{n-1}}{e^{nt}}$$

となります。これを $n$ 回繰り返すと、

$$\lim_{t \to \infty} \frac{n!}{n^n e^{nt}} = 0$$

となります。したがって、

$$\lim_{t \to \infty} \frac{(-1)^n t^n}{e^{nt}} = (-1)^n \lim_{t \to \infty} \frac{t^n}{e^{nt}} = (-1)^n \cdot 0 = 0$$

となります。

3. 最終的な答え

0