与えられた3つの関数の極値を求める問題です。 (1) $f(x, y) = x^3 - 3x^2 - 4y^2$ (2) $f(x, y) = x^3 - 9xy + y^3 + 1$ (3) $f(x, y) = e^{-x^2-y^2}(ax^2 + by^2)$, ただし$a > b > 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数の極値を求める問題です。

(1) $f(x, y) = x^3 - 3x^2 - 4y^2$

(2) $f(x, y) = x^3 - 9xy + y^3 + 1$

(3) $f(x, y) = e^{-x^2-y^2}(ax^2 + by^2)$, ただし$a > b > 0$

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = x^3 - 3x^2 - 4y^2$

まず、偏微分を計算します。

$f_x = 3x^2 - 6x$

$f_y = -8y$

$f_x = 0$ と $f_y = 0$ を満たす点を求めます。

$3x(x - 2) = 0$ より、$x = 0$ または $x = 2$

$-8y = 0$ より、$y = 0$

したがって、停留点は $(0, 0)$ と $(2, 0)$ です。

次に、2階偏微分を計算します。

$f_{xx} = 6x - 6$

$f_{yy} = -8$

$f_{xy} = 0$

ヘッセ行列式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算します。

$D = (6x - 6)(-8) - 0^2 = -48(x - 1)$

$(0, 0)$ において、$D = -48(0 - 1) = 48 > 0$ かつ $f_{xx}(0, 0) = -6 < 0$ なので、$(0, 0)$ は極大点であり、$f(0, 0) = 0$。

$(2, 0)$ において、$D = -48(2 - 1) = -48 < 0$ なので、$(2, 0)$ は鞍点です。

(2) $f(x, y) = x^3 - 9xy + y^3 + 1$

まず、偏微分を計算します。

$f_x = 3x^2 - 9y$

$f_y = -9x + 3y^2$

$f_x = 0$ と $f_y = 0$ を満たす点を求めます。

$3x^2 - 9y = 0$ より $y = \frac{1}{3}x^2$

$-9x + 3y^2 = 0$ より $x = \frac{1}{3}y^2$

$x = \frac{1}{3}(\frac{1}{3}x^2)^2 = \frac{1}{27}x^4$

$27x = x^4$

$x(x^3 - 27) = 0$ より $x = 0$ または $x = 3$

$x = 0$ のとき、$y = 0$

$x = 3$ のとき、$y = \frac{1}{3}(3^2) = 3$

したがって、停留点は $(0, 0)$ と $(3, 3)$ です。

次に、2階偏微分を計算します。

$f_{xx} = 6x$

$f_{yy} = 6y$

$f_{xy} = -9$

ヘッセ行列式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算します。

$D = (6x)(6y) - (-9)^2 = 36xy - 81$

$(0, 0)$ において、$D = 36(0)(0) - 81 = -81 < 0$ なので、$(0, 0)$ は鞍点です。

$(3, 3)$ において、$D = 36(3)(3) - 81 = 324 - 81 = 243 > 0$ かつ $f_{xx}(3, 3) = 6(3) = 18 > 0$ なので、$(3, 3)$ は極小点であり、$f(3, 3) = 3^3 - 9(3)(3) + 3^3 + 1 = 27 - 81 + 27 + 1 = -26$。

(3) $f(x, y) = e^{-x^2-y^2}(ax^2 + by^2)$, ただし$a > b > 0$

まず、偏微分を計算します。

$f_x = e^{-x^2-y^2}(2ax) + (ax^2 + by^2)e^{-x^2-y^2}(-2x) = 2xe^{-x^2-y^2}(a - ax^2 - by^2)$

$f_y = e^{-x^2-y^2}(2by) + (ax^2 + by^2)e^{-x^2-y^2}(-2y) = 2ye^{-x^2-y^2}(b - ax^2 - by^2)$

$f_x = 0$ と $f_y = 0$ を満たす点を求めます。

$x = 0$ または $a - ax^2 - by^2 = 0$

$y = 0$ または $b - ax^2 - by^2 = 0$

$x = 0$ かつ $y = 0$ のとき、$(0, 0)$ は停留点。

$x = 0$ かつ $b - by^2 = 0$ のとき、$y^2 = 1$ より $y = \pm 1$、したがって $(0, \pm 1)$ は停留点。

$y = 0$ かつ $a - ax^2 = 0$ のとき、$x^2 = 1$ より $x = \pm 1$、したがって $(\pm 1, 0)$ は停留点。

$a - ax^2 - by^2 = 0$ かつ $b - ax^2 - by^2 = 0$ のとき、$a = b$ となり、$a > b$ に矛盾するので、このような点はありません。

次に、2階偏微分を計算します。

$f_{xx} = 2e^{-x^2-y^2}(a - ax^2 - by^2) + 2x e^{-x^2-y^2}(-2ax) + 2x(a - ax^2 - by^2)e^{-x^2-y^2}(-2x) = 2e^{-x^2-y^2}(a-ax^2-by^2-2ax^2) - 4x^2e^{-x^2-y^2}(a-ax^2-by^2)$

$f_{yy} = 2e^{-x^2-y^2}(b - ax^2 - by^2) + 2y e^{-x^2-y^2}(-2by) + 2y(b - ax^2 - by^2)e^{-x^2-y^2}(-2y) = 2e^{-x^2-y^2}(b-ax^2-by^2-2by^2) - 4y^2e^{-x^2-y^2}(b-ax^2-by^2)$

$f_{xy} = 2x e^{-x^2-y^2}(-2by) + 2y e^{-x^2-y^2}(-2ax) = -4xye^{-x^2-y^2}(a+b)$

ヘッセ行列式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算します。

$(0, 0)$ において、$f_{xx} = 2a$, $f_{yy} = 2b$, $f_{xy} = 0$, $D = (2a)(2b) - 0^2 = 4ab > 0$ かつ $f_{xx}(0, 0) = 2a > 0$ なので、$(0, 0)$ は極小点であり、$f(0, 0) = 0$。

$(\pm 1, 0)$ において、$f_{xx} = 2e^{-1-0}(a-a) - 4e^{-1}(a-a) = -4a e^{-1}$, $f_{yy} = 2e^{-1}(b - a)$, $f_{xy} = 0$, $D = (2 e^{-1} (a-2a-0))(2 e^{-1} (b-a-0)) - 0 = 4e^{-2} (a)(a-b) < 0$なので鞍点

$(0, \pm 1)$ において、$f_{xx} = 2e^{-1} (a -b)$, $f_{yy} = 2e^{-1} (b-b - 2b) =-2e^{-1} b$, $f_{xy} = 0$, $D = (2 e^{-1} (a -b))(-4be^{-1} ) - 0 = -4be^{-2} (a-b) < 0$なので鞍点

3. 最終的な答え

(1) 極大値: $f(0, 0) = 0$, 鞍点: $(2, 0)$

(2) 極小値: $f(3, 3) = -26$, 鞍点: $(0, 0)$

(3) 極小値: $f(0, 0) = 0$, 鞍点: $(\pm 1, 0)$, $(0, \pm 1)$