はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

**

1. 問題の内容**

問題は以下の3つです。

* (6) 極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\log_2 x \cdot \log(1+x)}{x}$ を求める。

* テイラー展開：次の関数の $x=0$ におけるテイラー展開を指定された次数まで求めよ。

* (1) $\sqrt[3]{1+x}$ (3次まで)

* (2) $\log(1+\sin x)$ (3次まで)

* 不定積分：次の不定積分を求めよ。

* (1) $\int \sqrt{1-x^2} dx$

* (2) $\int \frac{1}{e^x-1} dx$

* $x>0$ が十分に小さいとき、$\sin^2 x$ と $e^x - 1 - x$ はどちらが大きいか。

**

2. 解き方の手順**

**(6) 極限**

まず、ロピタルの定理を使えるように、$\frac{0}{0}$の形になるか確認します。$x \to 0$のとき、$\log(1+x) \to \log(1) = 0$ です。$\log_2 x$ が定義されるのは $x > 0$ のときです。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_2 x \cdot \log(1+x)}{x}$

この極限は、ロピタルの定理を適用しても複雑になるため、テイラー展開を利用します。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log_2 x \cdot (x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots)}{x} = \lim_{x \to 0} \log_2 x \cdot (1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots)$

$x \to 0$ のとき、$\log_2 x \to -\infty$ であり、$(1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \dots) \to 1$ なので、極限は $-\infty$ に発散します。

**テイラー展開**

**(1) $\sqrt[3]{1+x}$ (3次まで)**

$(1+x)^{1/3}$ のテイラー展開を求めます。

$f(x) = (1+x)^{1/3}$

$f(0) = 1$

$f'(x) = \frac{1}{3}(1+x)^{-2/3}$

$f'(0) = \frac{1}{3}$

$f''(x) = -\frac{2}{9}(1+x)^{-5/3}$

$f''(0) = -\frac{2}{9}$

$f'''(x) = \frac{10}{27}(1+x)^{-8/3}$

$f'''(0) = \frac{10}{27}$

テイラー展開は次のようになります。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

$f(x) = 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{5}{81}x^3 + \dots$

**(2) $\log(1+\sin x)$ (3次まで)**

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \dots = x - \frac{x^3}{6} + \dots$

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$

$\log(1+\sin x) = \log(1 + (x - \frac{x^3}{6} + \dots)) = (x - \frac{x^3}{6}) - \frac{(x - \frac{x^3}{6})^2}{2} + \frac{(x - \frac{x^3}{6})^3}{3} + \dots$

$= x - \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{3} + \dots$

$= x - \frac{x^2}{2} + (\frac{1}{3}-\frac{1}{6})x^3 + \dots = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots$

**不定積分**

**(1) $\int \sqrt{1-x^2} dx$**

$x = \sin \theta$ と置換します。$dx = \cos \theta d\theta$

$\int \sqrt{1-\sin^2 \theta} \cos \theta d\theta = \int \cos^2 \theta d\theta = \int \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} + C$

$= \frac{\theta}{2} + \frac{\sin \theta \cos \theta}{2} + C = \frac{\arcsin x}{2} + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C$

**(2) $\int \frac{1}{e^x-1} dx$**

$u = e^x$ と置換します。$du = e^x dx$, $dx = \frac{du}{e^x} = \frac{du}{u}$

$\int \frac{1}{u-1} \frac{du}{u} = \int \frac{1}{u-1} - \frac{1}{u} du = \log|u-1| - \log|u| + C = \log|\frac{u-1}{u}| + C = \log|\frac{e^x-1}{e^x}| + C = \log|1-e^{-x}| + C$

**関数の大小比較**

$x>0$ が十分に小さいとき、$\sin^2 x$ と $e^x - 1 - x$ はどちらが大きいか。

テイラー展開を利用します。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

$\sin^2 x = (x - \frac{x^3}{6} + \dots)^2 = x^2 - \frac{x^4}{3} + \dots$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots$

$\sin^2 x = x^2 - \frac{x^4}{3} + \dots$

$e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots$

$x^2 > \frac{x^2}{2}$ なので、$x$が十分に小さいときでも、$e^x - 1 - x$ よりも $\sin^2 x$ の方が小さいです。$e^x - 1 - x$ の方が大きいです。

**

3. 最終的な答え**

* (6) $\lim_{x \to 0} \frac{\log_2 x \cdot \log(1+x)}{x} = -\infty$

* テイラー展開

* (1) $\sqrt[3]{1+x} \approx 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \frac{5}{81}x^3$

* (2) $\log(1+\sin x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$

* 不定積分

* (1) $\int \sqrt{1-x^2} dx = \frac{\arcsin x}{2} + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C$

* (2) $\int \frac{1}{e^x-1} dx = \log|1-e^{-x}| + C$

* $x>0$ が十分に小さいとき、$e^x - 1 - x$ の方が大きい。