周期 $2\pi$ の周期関数 $f(x)$ をフーリエ級数展開する問題です。関数 $f(x)$ は以下のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} 0, & (-\pi \le x < -\frac{\pi}{2}) \\ x, & (-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}) \\ 0, & (\frac{\pi}{2} < x \le \pi) \end{cases}$

1. 問題の内容

周期 $2\pi$ の周期関数 $f(x)$ をフーリエ級数展開する問題です。関数 $f(x)$ は以下のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases}

0, & (-\pi \le x < -\frac{\pi}{2}) \\

x, & (-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}) \\

0, & (\frac{\pi}{2} < x \le \pi)

\end{cases}$

2. 解き方の手順

フーリエ級数展開は一般に以下の式で表されます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数であり、それぞれ以下の式で計算されます。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx$

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx$

与えられた関数 $f(x)$ を用いて、これらの係数を計算します。

まず、$a_0$ を計算します。

$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x dx = \frac{1}{\pi} [\frac{x^2}{2}]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\pi} (\frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2} - \frac{(-\frac{\pi}{2})^2}{2}) = 0$

次に、$a_n$ を計算します。

$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \cos(nx) dx$

$g(x) = x, h'(x) = \cos(nx)$ と置くと、$g'(x) = 1, h(x) = \frac{1}{n} \sin(nx)$ となります。部分積分を行うと、

$a_n = \frac{1}{\pi} [x \cdot \frac{1}{n} \sin(nx)]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{n} \sin(nx) dx$

$= \frac{1}{\pi} [\frac{\pi}{2n} \sin(\frac{n\pi}{2}) - (-\frac{\pi}{2n} \sin(-\frac{n\pi}{2}))] - \frac{1}{n\pi} [-\frac{1}{n} \cos(nx)]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{1}{\pi} [\frac{\pi}{2n} \sin(\frac{n\pi}{2}) + \frac{\pi}{2n} \sin(\frac{n\pi}{2})] + \frac{1}{n^2\pi} [\cos(\frac{n\pi}{2}) - \cos(-\frac{n\pi}{2})]$

$= \frac{1}{n} \sin(\frac{n\pi}{2}) + \frac{1}{n^2\pi} [\cos(\frac{n\pi}{2}) - \cos(\frac{n\pi}{2})] = \frac{1}{n} \sin(\frac{n\pi}{2})$

最後に、$b_n$ を計算します。

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin(nx) dx$

$g(x) = x, h'(x) = \sin(nx)$ と置くと、$g'(x) = 1, h(x) = -\frac{1}{n} \cos(nx)$ となります。部分積分を行うと、

$b_n = \frac{1}{\pi} [x \cdot (-\frac{1}{n} \cos(nx))]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (-\frac{1}{n} \cos(nx)) dx$

$= \frac{1}{\pi} [-\frac{\pi}{2n} \cos(\frac{n\pi}{2}) - (\frac{\pi}{2n} \cos(-\frac{n\pi}{2}))] + \frac{1}{n\pi} [\frac{1}{n} \sin(nx)]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= -\frac{1}{n} \cos(\frac{n\pi}{2}) + \frac{1}{n^2\pi} [\sin(\frac{n\pi}{2}) - \sin(-\frac{n\pi}{2})]$

$= -\frac{1}{n} \cos(\frac{n\pi}{2}) + \frac{2}{n^2\pi} \sin(\frac{n\pi}{2})$

したがって、フーリエ級数展開は次のようになります。

$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n} \sin(\frac{n\pi}{2}) \cos(nx) + (-\frac{1}{n} \cos(\frac{n\pi}{2}) + \frac{2}{n^2\pi} \sin(\frac{n\pi}{2})) \sin(nx))$

3. 最終的な答え

$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) \cos(nx) + \left(-\frac{1}{n} \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right) + \frac{2}{n^2\pi} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right) \sin(nx)\right)$