次の極限値を求める。 1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$

はい、承知いたしました。画像に記載されている極限値を求める問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の極限値を求める。

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - (1 - \frac{x^2}{2})}{x^2}$

3. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - (1 - \frac{x^2}{2})}{x^3}$

4. $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$

5. $\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{\sqrt{x}}$

2. 解き方の手順

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$

この極限を解くには、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ という既知の極限を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - (1 - \frac{x^2}{2})}{x^2}$

$\cos x$ のマクローリン展開を利用します。$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots) - (1 - \frac{x^2}{2})}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots}{x^2} = \lim_{x \to 0} (\frac{x^2}{24} - \frac{x^4}{720} + \cdots) = 0$

3. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - (x - \frac{x^2}{2})}{x^3}$ (問題文に誤りがあると思われるので修正しました。)

$\sin x$ のマクローリン展開を利用します。$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

$\lim_{x \to 0} \frac{(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots) - (x - \frac{x^2}{2})}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots}{x^3}$

問題文の修正が必要です。問題文は　$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - (x - \frac{x^3}{6})}{x^5}$ だとすると

$\lim_{x \to 0} \frac{(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots) - (x - \frac{x^3}{6})}{x^5}= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^5}{120} - \cdots}{x^5} = \frac{1}{120}$

修正前の問題文の場合、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - (1 - \frac{x^2}{2})}{x^3}$ は$-\infty$に発散します。

4. $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$

$x = \frac{\pi}{2} + h$ と置くと、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $h \to 0$ となる。

$\lim_{h \to 0} h \tan (\frac{\pi}{2} + h) = \lim_{h \to 0} h (-\cot h) = \lim_{h \to 0} -h \frac{\cos h}{\sin h} = \lim_{h \to 0} -\cos h \cdot \frac{h}{\sin h} = -1 \cdot 1 = -1$

5. $\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{\sqrt{x}}$

ロピタルの定理を2回適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 (\log x) \cdot \frac{1}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 \log x}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{8}{\sqrt{x}} = 0$

3. 最終的な答え

1. 3

2. 0

3. $-\infty$ (修正前の問題文の場合) , $\frac{1}{120}$(修正後の問題文の場合, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - (x - \frac{x^3}{6})}{x^5}$)

4. -1

5. 0