## 微分積分学の問題

## 微分積分学の問題

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1. 問題の内容

与えられた問題は、微分積分学に関する複数の問題から構成されています。具体的には、以下の5つのカテゴリーに分かれています。

1. 関数の導関数を求める問題

2. 極限値を求める問題

3. n次導関数を求める問題

4. 関数の増減および凹凸を調べる問題

5. マクローリン展開における3次までの項を求める問題

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2. 解き方の手順

個々の問題に対する具体的な解き方を以下に示します。スペースの都合上、すべての問題を網羅することはできません。例として、各カテゴリーから1-2問ずつ解説します。

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1. 関数の導関数を求める問題**

* 問題1: $y = \sin(\cos x)$

* 解法: 合成関数の微分公式を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \sin(\cos x) = \cos(\cos x) \cdot \frac{d}{dx} (\cos x) = \cos(\cos x) \cdot (-\sin x) = -\sin x \cos(\cos x)$

* 問題2: $y = \frac{1}{\tan x}$

* 解法: $y = \cot x$ と書き換えて微分します。

$y' = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$

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2. 極限値を求める問題**

* 問題1: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$

* 解法: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の公式を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$

* 問題2: $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - (1 - \frac{x^2}{2})}{x^4}$

* 解法: ロピタルの定理を繰り返し用いるか、コサイン関数のマクローリン展開を使用します。$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots) - (1 - \frac{x^2}{2})}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{24} - \cdots}{x^4} = \frac{1}{24}$

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3. n次導関数を求める問題**

* 問題1: $y = (x+1)^m$ (mは正の整数)

* 解法: 繰り返し微分を行います。

$y' = m(x+1)^{m-1}$

$y'' = m(m-1)(x+1)^{m-2}$

...

$y^{(n)} = m(m-1)\cdots(m-n+1)(x+1)^{m-n}$

特に、$n=m$のとき、$y^{(m)} = m!$

$n>m$のとき、$y^{(n)} = 0$

* 問題3: $y = \sin x$

* 解法: 繰り返し微分してパターンを見つけます。

$y' = \cos x$

$y'' = -\sin x$

$y''' = -\cos x$

$y^{(4)} = \sin x$

したがって、$y^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$

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4. 関数の増減および凹凸を調べる問題**

* 問題1: $y = \sqrt{\frac{x-1}{x-2}}$

* 解法: 定義域、微分、増減表、凹凸などを調べます。

1. 定義域: $\frac{x-1}{x-2} \geq 0$ より $x \leq 1$ または $x > 2$

2. 微分: $y' = \frac{1}{2}(\frac{x-1}{x-2})^{-1/2} \cdot \frac{(x-2)-(x-1)}{(x-2)^2} = \frac{-1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}(x-2)^2}$

3. 増減表: $x < 1$ または $x > 2$ の範囲で、$y'$ は常に負なので、$y$ は単調減少。

4. 凹凸は二階微分を計算して調べます。

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5. マクローリン展開における3次までの項を求める問題**

* 問題1: $f(x) = \sin 3x$

* 解法: $\sin x$ のマクローリン展開 $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots$ を利用します。

$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \cdots = 3x - \frac{27x^3}{6} + \cdots = 3x - \frac{9}{2}x^3 + \cdots$

したがって、3次までの項は $3x - \frac{9}{2}x^3$

* 問題3: $f(x) = e^{-4x}$

* 解法: $e^x$ のマクローリン展開 $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ を利用します。

$e^{-4x} = 1 + (-4x) + \frac{(-4x)^2}{2!} + \frac{(-4x)^3}{3!} + \cdots = 1 - 4x + 8x^2 - \frac{32}{3}x^3 + \cdots$

したがって、3次までの項は $1 - 4x + 8x^2 - \frac{32}{3}x^3$

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3. 最終的な答え

上記に、例として挙げた問題の答えを示しました。残りの問題についても、同様の手順で解くことができます。