次の5つの関数の導関数を求めます。 1. $y = \sin(\cos x)$

1. 問題の内容

次の5つの関数の導関数を求めます。

1. $y = \sin(\cos x)$

2. $y = \frac{1}{\tan x}$

3. $y = \sin^2 x$

4. $y = (\arcsin x) (\arccos x)$

5. $y = x^{\frac{x}{2}}$

2. 解き方の手順

1. $y = \sin(\cos x)$ の導関数を求める。

合成関数の微分を用いる。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

$u = \cos x$ とすると、$y = \sin u$

$\frac{dy}{du} = \cos u$

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = (\cos u) (-\sin x) = \cos(\cos x) (-\sin x) = -\sin x \cos(\cos x)$

2. $y = \frac{1}{\tan x} = \cot x$ の導関数を求める。

$\frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$

3. $y = \sin^2 x$ の導関数を求める。

合成関数の微分を用いる。

$y = (\sin x)^2$

$\frac{dy}{dx} = 2(\sin x) (\cos x) = 2\sin x \cos x = \sin(2x)$

4. $y = (\arcsin x)(\arccos x)$ の導関数を求める。

積の微分法を用いる。$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$

$u = \arcsin x$, $v = \arccos x$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} (\arccos x) + (\arcsin x) \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{\arccos x - \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$

5. $y = x^{\frac{x}{2}}$ の導関数を求める。

両辺の自然対数を取る。

$\ln y = \ln \left(x^{\frac{x}{2}}\right) = \frac{x}{2} \ln x$

両辺を$x$で微分する。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \ln x + \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \ln x + \frac{1}{2}$

$\frac{dy}{dx} = y \left(\frac{1}{2} \ln x + \frac{1}{2}\right) = x^{\frac{x}{2}} \left(\frac{\ln x + 1}{2}\right) = \frac{x^{\frac{x}{2}}}{2} (\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

1. $-\sin x \cos(\cos x)$

2. $-\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$

3. $\sin(2x)$

4. $\frac{\arccos x - \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$

5. $\frac{x^{\frac{x}{2}}}{2} (\ln x + 1)$