与えられた関数 $f(x, y)$ が調和関数であるかどうかを調べる問題です。調和関数であるとは、$f_{xx} + f_{yy} = 0$ が成り立つことを意味します。問題文には４つの関数 $f(x,y)$ が示されており、それぞれについて調和関数かどうかを判断する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ が調和関数であるかどうかを調べる問題です。調和関数であるとは、$f_{xx} + f_{yy} = 0$ が成り立つことを意味します。問題文には４つの関数 $f(x,y)$ が示されており、それぞれについて調和関数かどうかを判断する必要があります。

2. 解き方の手順

各関数について、偏微分 $f_x$, $f_y$, $f_{xx}$, $f_{yy}$ を計算し、$f_{xx} + f_{yy}$ を計算します。その結果が 0 になれば、その関数は調和関数です。

(1) $f(x, y) = xy(x^2 - y^2) = x^3y - xy^3$

$f_x = 3x^2y - y^3$

$f_y = x^3 - 3xy^2$

$f_{xx} = 6xy$

$f_{yy} = -6xy$

$f_{xx} + f_{yy} = 6xy - 6xy = 0$

(2) $f(x, y) = e^x(\sin y + \cos y)$

$f_x = e^x(\sin y + \cos y)$

$f_y = e^x(\cos y - \sin y)$

$f_{xx} = e^x(\sin y + \cos y)$

$f_{yy} = e^x(-\sin y - \cos y)$

$f_{xx} + f_{yy} = e^x(\sin y + \cos y) + e^x(-\sin y - \cos y) = 0$

(3) $f(x, y) = \tan^{-1}(xy)$

$f_x = \frac{y}{1 + (xy)^2}$

$f_y = \frac{x}{1 + (xy)^2}$

$f_{xx} = \frac{-2xy^3}{(1 + (xy)^2)^2}$

$f_{yy} = \frac{-2x^3y}{(1 + (xy)^2)^2}$

$f_{xx} + f_{yy} = \frac{-2xy^3 - 2x^3y}{(1 + (xy)^2)^2} = \frac{-2xy(x^2 + y^2)}{(1 + (xy)^2)^2}$

一般に $f_{xx} + f_{yy} \neq 0$. 例えば, $x=1, y=1$ の時, $f_{xx} + f_{yy} = -1 \neq 0$.

(4) $f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$

$f_x = \frac{y(x^2 + y^2) - xy(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^3 - x^2y}{(x^2 + y^2)^2}$

$f_y = \frac{x(x^2 + y^2) - xy(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^3 - xy^2}{(x^2 + y^2)^2}$

$f_{xx} = \frac{-2xy^3 - 2xy(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^3} = \frac{2xy(x^2 - 3y^2)}{(x^2 + y^2)^3}$

$f_{yy} = \frac{2xy(3x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^3}$

$f_{xx} + f_{yy} = \frac{2xy(x^2 - 3y^2) + 2xy(3x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^3} = \frac{2xy(4x^2 - 4y^2)}{(x^2 + y^2)^3} = \frac{8xy(x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^3}$

一般に $f_{xx} + f_{yy} \neq 0$. 例えば, $x=1, y=2$ の時, $f_{xx} + f_{yy} = -24/125 \neq 0$.

3. 最終的な答え

(1) 調和関数である。

(2) 調和関数である。

(3) 調和関数ではない。

(4) 調和関数ではない。