$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{n+1 - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

## 回答

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1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 4x}$

(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+x)}{x^2}$

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2. 解き方の手順

**(1) $\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$**

1. $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ を有理化します。

$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{n+1 - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

2. $\sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ に代入します。

$\sqrt{n}(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}(\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1}$

3. $n \to \infty$ の極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

**(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!}$**

1. $a_n = \frac{3^n}{n!}$ とします。

2. $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ を計算します。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{3^n}{n!}} = \frac{3^{n+1} n!}{3^n (n+1)!} = \frac{3}{n+1}$

3. $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} = 0$

4. $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!} = 0$

**(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 4x}$**

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

2. $\frac{\sin 5x}{\sin 4x} = \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{4x}{\sin 4x} \cdot \frac{5x}{4x} = \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{4x}{\sin 4x} \cdot \frac{5}{4}$

3. $x \to 0$ の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{4x}{\sin 4x} \cdot \frac{5}{4} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{4}$

**(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+x)}{x^2}$**

1. ロピタルの定理を適用します。$\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1+x)}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+x}}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x(1+x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x^2 + 2x}$

2. $x \to \infty$ の極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x^2 + 2x} = 0$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) 0

(3) $\frac{5}{4}$

(4) 0