$n$ を自然数とするとき、関数 $y = e^{-x}$ の第 $n$ 次導関数を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、関数 $y = e^{-x}$ の第 $n$ 次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = e^{-x}$ の導関数をいくつか計算し、規則性を見つける。

$y' = \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}$

$y'' = \frac{d^2}{dx^2}(e^{-x}) = \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = e^{-x}$

$y''' = \frac{d^3}{dx^3}(e^{-x}) = \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}$

$y^{(4)} = \frac{d^4}{dx^4}(e^{-x}) = \frac{d}{dx}(-e^{-x}) = e^{-x}$

このように、$y = e^{-x}$ を微分すると、$e^{-x}$ と $-e^{-x}$ が交互に出てくる。

一般に、$n$ が偶数のとき、

$y^{(n)} = e^{-x}$

$n$ が奇数のとき、

$y^{(n)} = -e^{-x}$

したがって、$y^{(n)}$ は $(-1)^n e^{-x}$ と表せる。

$y^{(n)} = (-1)^n e^{-x}$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = (-1)^n e^{-x}$