領域 $D = \{(x, y) \mid \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1, x \ge 0, y \ge 0\}$ 上で、関数 $f(x, y) = x^3 + y^3$ の重積分を計算する問題です。つまり、 $$\iint_D (x^3 + y^3) \, dx \, dy$$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) \mid \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1, x \ge 0, y \ge 0\}$ 上で、関数 $f(x, y) = x^3 + y^3$ の重積分を計算する問題です。つまり、

$$\iint_D (x^3 + y^3) \, dx \, dy$$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、楕円座標変換を行います。

$x = ar\cos\theta$, $y = br\sin\theta$ とおくと、ヤコビアンは

$$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a\cos\theta & -ar\sin\theta \\ b\sin\theta & br\cos\theta \end{vmatrix} = abr\cos^2\theta + abr\sin^2\theta = abr$$

となります。

積分領域は $0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、積分は

$$\iint_D (x^3 + y^3) \, dx \, dy = \int_0^{\pi/2} \int_0^1 ((ar\cos\theta)^3 + (br\sin\theta)^3) abr \, dr \, d\theta$$

$$= ab \int_0^{\pi/2} \int_0^1 (a^3r^3\cos^3\theta + b^3r^3\sin^3\theta) r \, dr \, d\theta$$

$$= ab \int_0^{\pi/2} \int_0^1 (a^3r^4\cos^3\theta + b^3r^4\sin^3\theta) \, dr \, d\theta$$

$$= ab \int_0^{\pi/2} \left[ \frac{a^3}{5}r^5\cos^3\theta + \frac{b^3}{5}r^5\sin^3\theta \right]_0^1 \, d\theta$$

$$= \frac{ab}{5} \int_0^{\pi/2} (a^3\cos^3\theta + b^3\sin^3\theta) \, d\theta$$

ここで、$\int_0^{\pi/2} \cos^3\theta \, d\theta = \int_0^{\pi/2} \cos\theta(1-\sin^2\theta) \, d\theta = \int_0^1 (1-u^2) \, du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

同様に、$\int_0^{\pi/2} \sin^3\theta \, d\theta = \frac{2}{3}$

したがって、

$$= \frac{ab}{5} \left( a^3 \cdot \frac{2}{3} + b^3 \cdot \frac{2}{3} \right) = \frac{2ab}{15} (a^3 + b^3)$$

3. 最終的な答え

$$\frac{2ab(a^3 + b^3)}{15}$$