次の三角関数の方程式と不等式を $0 \le x < 2\pi$ の範囲で解く問題です。 (1) $2\sin x - \sqrt{3} = 0$ (2) $\tan x - \frac{1}{\sqrt{3}} = 0$ (3) $\cos 2x + \cos x + 1 = 0$ (5) $2\sin x - \sqrt{3} < 0$ (6) $4\sin x \cos x + \sqrt{2} < 0$ (7) $2\cos^2 x - \cos x - 1 > 0$

1. 問題の内容

次の三角関数の方程式と不等式を $0 \le x < 2\pi$ の範囲で解く問題です。

(1) $2\sin x - \sqrt{3} = 0$

(2) $\tan x - \frac{1}{\sqrt{3}} = 0$

(3) $\cos 2x + \cos x + 1 = 0$

(5) $2\sin x - \sqrt{3} < 0$

(6) $4\sin x \cos x + \sqrt{2} < 0$

(7) $2\cos^2 x - \cos x - 1 > 0$

2. 解き方の手順

(1) $2\sin x - \sqrt{3} = 0$ を解く。

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

(2) $\tan x - \frac{1}{\sqrt{3}} = 0$ を解く。

$\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$x = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$

(3) $\cos 2x + \cos x + 1 = 0$ を解く。

$2\cos^2 x - 1 + \cos x + 1 = 0$

$2\cos^2 x + \cos x = 0$

$\cos x (2\cos x + 1) = 0$

$\cos x = 0$ または $\cos x = -\frac{1}{2}$

$\cos x = 0$ より $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$\cos x = -\frac{1}{2}$ より $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

(5) $2\sin x - \sqrt{3} < 0$ を解く。

$\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \le x < \frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3} < x < 2\pi$

(6) $4\sin x \cos x + \sqrt{2} < 0$ を解く。

$2\sin 2x + \sqrt{2} < 0$

$\sin 2x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{5\pi}{4} < 2x < \frac{7\pi}{4}$, $\frac{13\pi}{4} < 2x < \frac{15\pi}{4}$

$\frac{5\pi}{8} < x < \frac{7\pi}{8}$, $\frac{13\pi}{8} < x < \frac{15\pi}{8}$

(7) $2\cos^2 x - \cos x - 1 > 0$ を解く。

$(2\cos x + 1)(\cos x - 1) > 0$

$\cos x < -\frac{1}{2}$ または $\cos x > 1$

$\cos x > 1$ は $0 \le x < 2\pi$ では起こりえない。

$\cos x < -\frac{1}{2}$ より $\frac{2\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

(2) $x = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$

(3) $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

(5) $0 \le x < \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} < x < 2\pi$

(6) $\frac{5\pi}{8} < x < \frac{7\pi}{8}, \frac{13\pi}{8} < x < \frac{15\pi}{8}$

(7) $\frac{2\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3}$