$n$ を自然数とするとき、$y = \sin x$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$y = \sin x$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin x$ の導関数を繰り返し計算し、規則性を見つけます。

まず、$y = \sin x$ とします。

1階微分: $y' = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$

2階微分: $y'' = -\sin x = \sin(x + \pi) = \sin(x + 2\frac{\pi}{2})$

3階微分: $y''' = -\cos x = \sin(x + \frac{3\pi}{2})$

4階微分: $y'''' = \sin x = \sin(x + 2\pi) = \sin(x + 4\frac{\pi}{2})$

これらの結果から、$\sin x$ の $n$ 次導関数は、

$$$$

y^{(n)} = \sin(x + n\frac{\pi}{2})

$$$$

と推測できます。

数学的帰納法で証明します。

(i) $n=1$ のとき、$y' = \sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos x$ となり成立します。

(ii) $n=k$ のとき、$y^{(k)} = \sin(x + k\frac{\pi}{2})$ が成立すると仮定します。

(iii) $n=k+1$ のとき、

$$$$

y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} y^{(k)} = \frac{d}{dx} \sin(x + k\frac{\pi}{2}) = \cos(x + k\frac{\pi}{2}) = \sin(x + k\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \sin(x + (k+1)\frac{\pi}{2})

$$$$

となり、$n=k+1$ のときも成立します。

したがって、数学的帰納法により、$y^{(n)} = \sin(x + n\frac{\pi}{2})$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = \sin(x + n\frac{\pi}{2})$