$n$を自然数とするとき、関数 $y = e^{2x}$ の第$n$次導関数を求めよ。

1. 問題の内容

$n$を自然数とするとき、関数 $y = e^{2x}$ の第$n$次導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$を1回、2回、3回と微分して、規則性を見つける。

1階微分:

$y' = \frac{d}{dx} e^{2x} = 2e^{2x}$

2階微分:

$y'' = \frac{d}{dx} (2e^{2x}) = 2 \cdot 2e^{2x} = 2^2 e^{2x}$

3階微分:

$y''' = \frac{d}{dx} (2^2 e^{2x}) = 2^2 \cdot 2e^{2x} = 2^3 e^{2x}$

一般的に、$n$階微分は、

$y^{(n)} = 2^n e^{2x}$

したがって、$y=e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数は $2^n e^{2x}$である。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = 2^n e^{2x}$