与えられた関数について、マクローリン展開を $x^3$ の項まで求める問題です。具体的には、以下の3つの関数について、$x^3$の項までのマクローリン展開を求めます。 (1) $f(x) = e^x$ (2) $f(x) = \sin x$ (3) $f(x) = \cos x$

1. 問題の内容

与えられた関数について、マクローリン展開を $x^3$ の項まで求める問題です。具体的には、以下の3つの関数について、$x^3$の項までのマクローリン展開を求めます。

(1) $f(x) = e^x$

(2) $f(x) = \sin x$

(3) $f(x) = \cos x$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したものです。一般に、関数 $f(x)$ のマクローリン展開は次のように表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

ここで、$f'(x)$、$f''(x)$、$f'''(x)$はそれぞれ $f(x)$ の1階、2階、3階の導関数を表します。今回は $x^3$ の項まで求めるので、3階までの導関数を計算し、$x=0$ を代入した値を求めます。

(1) $f(x) = e^x$ の場合

$f(x) = e^x$

$f'(x) = e^x$

$f''(x) = e^x$

$f'''(x) = e^x$

したがって、

$f(0) = e^0 = 1$

$f'(0) = e^0 = 1$

$f''(0) = e^0 = 1$

$f'''(0) = e^0 = 1$

よって、マクローリン展開は、

$e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \cdots = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$

(2) $f(x) = \sin x$ の場合

$f(x) = \sin x$

$f'(x) = \cos x$

$f''(x) = -\sin x$

$f'''(x) = -\cos x$

したがって、

$f(0) = \sin 0 = 0$

$f'(0) = \cos 0 = 1$

$f''(0) = -\sin 0 = 0$

$f'''(0) = -\cos 0 = -1$

よって、マクローリン展開は、

$\sin x = 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \cdots = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$

(3) $f(x) = \cos x$ の場合

$f(x) = \cos x$

$f'(x) = -\sin x$

$f''(x) = -\cos x$

$f'''(x) = \sin x$

したがって、

$f(0) = \cos 0 = 1$

$f'(0) = -\sin 0 = 0$

$f''(0) = -\cos 0 = -1$

$f'''(0) = \sin 0 = 0$

よって、マクローリン展開は、

$\cos x = 1 + 0 \cdot x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \cdots = 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$

3. 最終的な答え

(1) $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$

(2) $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$

(3) $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$