関数 $y = \frac{1}{e^x + e^{-x}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{e^x + e^{-x}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ で微分するために、商の微分公式または合成関数の微分公式を利用します。

ここでは、$y = (e^x + e^{-x})^{-1}$と見て合成関数の微分を行います。

$u = e^x + e^{-x}$ とおくと、$y = u^{-1}$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

まず、$\frac{dy}{du}$ を計算します。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^{-1}) = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

次に、$\frac{du}{dx}$ を計算します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(e^x + e^{-x}) = e^x - e^{-x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{1}{u^2} \cdot (e^x - e^{-x}) = -\frac{e^x - e^{-x}}{(e^x + e^{-x})^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{e^x - e^{-x}}{(e^x + e^{-x})^2}$