無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^{n-1}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

この無限級数は、初項 $a = (\frac{1}{3})^{1-1} = (\frac{1}{3})^0 = 1$、公比 $r = \frac{1}{3}$ の等比級数です。

等比級数$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$が収束するための条件は、$|r| < 1$ です。この問題では、$|r| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1$なので、級数は収束します。

等比級数の和の公式は以下の通りです。

$$S = \frac{a}{1-r}$$

ここに $a=1$ と $r = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$