次の5つの関数について、極大値、極小値を求めます。 (1) $y = x^4 - x^2 + 2$ (2) $y = x - \log x$ (3) $y = \frac{1}{1+x^2}$ (4) $y = (\log x)^2$ (5) $y = x^4 - 4x^3$

はい、承知いたしました。次の関数の極値を求めます。

1. 問題の内容

次の5つの関数について、極大値、極小値を求めます。

(1) $y = x^4 - x^2 + 2$

(2) $y = x - \log x$

(3) $y = \frac{1}{1+x^2}$

(4) $y = (\log x)^2$

(5) $y = x^4 - 4x^3$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で極値を求めます。

(1) 導関数$y'$を計算する。

(2) $y' = 0$となる$x$を求める。これが極値の候補となる。

(3) 第2次導関数$y''$を計算する。

(4) $y' = 0$となる$x$について、$y''$の符号を調べる。

- $y'' > 0$のとき、$x$で極小値を取る。

- $y'' < 0$のとき、$x$で極大値を取る。

- $y'' = 0$のときは、その点における微分係数と増減表を調べて極値かどうか判断する。

(5) 極値をとる$x$の値を元の関数に代入して、極値を求める。

(1) $y = x^4 - x^2 + 2$

$y' = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1)$

$y' = 0 \implies x = 0, \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$y'' = 12x^2 - 2$

$x = 0$のとき、$y'' = -2 < 0$なので、$x=0$で極大値をとる。極大値は$y = 2$。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$のとき、$y'' = 12 \cdot \frac{1}{2} - 2 = 4 > 0$なので、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$で極小値をとる。極小値は$y = (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{7}{4}$。

(2) $y = x - \log x$

$y' = 1 - \frac{1}{x}$

$y' = 0 \implies x = 1$

$y'' = \frac{1}{x^2}$

$x = 1$のとき、$y'' = 1 > 0$なので、$x=1$で極小値をとる。極小値は$y = 1 - \log 1 = 1$。

定義域は$x > 0$。

(3) $y = \frac{1}{1+x^2}$

$y' = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$

$y' = 0 \implies x = 0$

$y'' = -\frac{2(1+x^2)^2 - 2x \cdot 2(1+x^2) \cdot 2x}{(1+x^2)^4} = -\frac{2(1+x^2) - 8x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(1+x^2)^3}$

$x = 0$のとき、$y'' = -2 < 0$なので、$x=0$で極大値をとる。極大値は$y = \frac{1}{1+0} = 1$。

(4) $y = (\log x)^2$

$y' = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\log x}{x}$

$y' = 0 \implies \log x = 0 \implies x = 1$

$y'' = \frac{\frac{2}{x} \cdot x - 2\log x}{x^2} = \frac{2 - 2\log x}{x^2}$

$x = 1$のとき、$y'' = \frac{2 - 0}{1} = 2 > 0$なので、$x=1$で極小値をとる。極小値は$y = (\log 1)^2 = 0$。

定義域は$x > 0$。

(5) $y = x^4 - 4x^3$

$y' = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$

$y' = 0 \implies x = 0, 3$

$y'' = 12x^2 - 24x$

$x = 0$のとき、$y'' = 0$なので、増減表を書く。

$x < 0$のとき、$y' > 0$。$0 < x < 3$のとき、$y' < 0$。$x > 3$のとき、$y' > 0$。

よって、$x=0$では極値をとらない。

$x = 3$のとき、$y'' = 12 \cdot 9 - 24 \cdot 3 = 108 - 72 = 36 > 0$なので、$x=3$で極小値をとる。極小値は$y = 3^4 - 4 \cdot 3^3 = 81 - 108 = -27$。

3. 最終的な答え

(1) 極大値: $x=0$で$y=2$, 極小値: $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$で$y = \frac{7}{4}$

(2) 極小値: $x=1$で$y=1$

(3) 極大値: $x=0$で$y=1$

(4) 極小値: $x=1$で$y=0$

(5) 極小値: $x=3$で$y=-27$