$\log \frac{x+y}{x}$ を $y$ で微分せよ。

1. 問題の内容

$\log \frac{x+y}{x}$ を $y$ で微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を整理します。

$$\log \frac{x+y}{x} = \log(x+y) - \log x$$

次に、$y$ で微分します。$\log x$ は $y$ に依存しないため、微分すると $0$ になります。

$$\frac{d}{dy} (\log \frac{x+y}{x}) = \frac{d}{dy} (\log(x+y) - \log x) = \frac{d}{dy} \log(x+y) - \frac{d}{dy} \log x$$

合成関数の微分を使います。$\frac{d}{dy} \log(x+y) = \frac{1}{x+y} \cdot \frac{d}{dy} (x+y)$

$\frac{d}{dy} (x+y) = 1$

したがって、

$$\frac{d}{dy} \log(x+y) = \frac{1}{x+y}$$

$\frac{d}{dy} \log x = 0$

よって、

$$\frac{d}{dy} (\log \frac{x+y}{x}) = \frac{1}{x+y} - 0 = \frac{1}{x+y}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x+y}$