* 3(1): $z = \sin(x^2 + y^2)$ を偏微分せよ。つまり、$\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めよ。 * 4(1): $f(x, y) = xy(x^2 - y^2)$ が調和関数であるか否か調べよ。つまり、$f_{xx} + f_{yy} = 0$ が成立するかどうかを調べよ。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、3(1)と4(1)を解きます。

1. 問題の内容

* 3(1): $z = \sin(x^2 + y^2)$ を偏微分せよ。つまり、$\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めよ。

* 4(1): $f(x, y) = xy(x^2 - y^2)$ が調和関数であるか否か調べよ。つまり、$f_{xx} + f_{yy} = 0$ が成立するかどうかを調べよ。

2. 解き方の手順

* 3(1):

* $\frac{\partial z}{\partial x}$ を求める：

$z$ を $x$ で偏微分する。このとき、$y$ は定数とみなす。合成関数の微分を使う。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \cos(x^2 + y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = \cos(x^2 + y^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2 + y^2)$

* $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求める：

$z$ を $y$ で偏微分する。このとき、$x$ は定数とみなす。合成関数の微分を使う。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \cos(x^2 + y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = \cos(x^2 + y^2) \cdot 2y = 2y\cos(x^2 + y^2)$

* 4(1):

* $f(x, y)$ を展開する:

$f(x, y) = x^3y - xy^3$

* $f_x$ を求める：

$f(x, y)$ を $x$ で偏微分する。

$f_x = 3x^2y - y^3$

* $f_{xx}$ を求める：

$f_x$ をさらに $x$ で偏微分する。

$f_{xx} = 6xy$

* $f_y$ を求める：

$f(x, y)$ を $y$ で偏微分する。

$f_y = x^3 - 3xy^2$

* $f_{yy}$ を求める：

$f_y$ をさらに $y$ で偏微分する。

$f_{yy} = -6xy$

* $f_{xx} + f_{yy}$ を計算する：

$f_{xx} + f_{yy} = 6xy + (-6xy) = 0$

3. 最終的な答え

* 3(1):

* $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x\cos(x^2 + y^2)$

* $\frac{\partial z}{\partial y} = 2y\cos(x^2 + y^2)$

* 4(1): 調和関数である。