以下の3つの2重積分を計算します。 (1) $\iint_{D_1} y \,dxdy$, $D_1 = \{(x, y) \,|\, 0 \le y \le 2x \le 2\}$ (2) $\iint_{D_2} x \,dxdy$, $D_2 = \{(x, y) \,|\, x^2 + y^2 \le y\}$ (3) $\iint_{D_3} (x - y)(2x + y) \,dxdy$, $D_3 = \{(x, y) \,|\, -1 \le x - y \le 1, 3 \le 2x + y \le 4\}$

はい、承知いたしました。与えられた重積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の3つの2重積分を計算します。

(1) $\iint_{D_1} y \,dxdy$, $D_1 = \{(x, y) \,|\, 0 \le y \le 2x \le 2\}$

(2) $\iint_{D_2} x \,dxdy$, $D_2 = \{(x, y) \,|\, x^2 + y^2 \le y\}$

(3) $\iint_{D_3} (x - y)(2x + y) \,dxdy$, $D_3 = \{(x, y) \,|\, -1 \le x - y \le 1, 3 \le 2x + y \le 4\}$

2. 解き方の手順

(1)

領域$D_1$は、$0 \le y \le 2x$かつ$2x \le 2$なので、$0 \le y \le 2x \le 2$となります。

$x$の範囲は$\frac{y}{2} \le x \le 1$、$y$の範囲は$0 \le y \le 2$となります。

したがって、

$\iint_{D_1} y \,dxdy = \int_0^2 \int_{y/2}^1 y \,dxdy = \int_0^2 y [x]_{y/2}^1 dy = \int_0^2 y(1 - \frac{y}{2}) dy = \int_0^2 (y - \frac{y^2}{2}) dy$

$= [\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{6}]_0^2 = \frac{4}{2} - \frac{8}{6} = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

(2)

領域$D_2$は、$x^2 + y^2 \le y$、つまり、$x^2 + (y - \frac{1}{2})^2 \le (\frac{1}{2})^2$なので、これは中心が$(0, \frac{1}{2})$、半径が$\frac{1}{2}$の円の内部です。

極座標変換を用いて計算します。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$とすると、$x^2 + y^2 \le y$は$r^2 \le r\sin\theta$、すなわち$r \le \sin\theta$となります。

$r$の範囲は$0 \le r \le \sin\theta$、$\theta$の範囲は$0 \le \theta \le \pi$となります。

$\iint_{D_2} x \,dxdy = \int_0^\pi \int_0^{\sin\theta} (r\cos\theta) r \,drd\theta = \int_0^\pi \cos\theta \int_0^{\sin\theta} r^2 \,drd\theta = \int_0^\pi \cos\theta [\frac{r^3}{3}]_0^{\sin\theta} d\theta$

$= \int_0^\pi \frac{1}{3} \cos\theta \sin^3\theta \,d\theta = \frac{1}{3} [\frac{\sin^4\theta}{4}]_0^\pi = \frac{1}{12} [\sin^4\theta]_0^\pi = \frac{1}{12} (0 - 0) = 0$

(3)

$u = x - y$, $v = 2x + y$とおくと、$x = \frac{u+v}{3}$, $y = \frac{v-2u}{3}$となります。

ヤコビアンは、$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{vmatrix} = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{1}{3}$

$\iint_{D_3} (x - y)(2x + y) \,dxdy = \int_3^4 \int_{-1}^1 uv |\frac{1}{3}| \,dudv = \frac{1}{3} \int_3^4 v \int_{-1}^1 u \,dudv = \frac{1}{3} \int_3^4 v [\frac{u^2}{2}]_{-1}^1 dv = \frac{1}{3} \int_3^4 v (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) dv = \frac{1}{3} \int_3^4 0 \,dv = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) $0$

(3) $0$